In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio.
Detto
un insieme aperto nello spazio euclideo
e
una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, se l'integrale di Lebesgue:
![{\displaystyle \int _{K}|f|\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85bf08fe4892452b9e4e7500f03d59f6b80eb6ee)
esiste finito per ogni sottoinsieme compatto
in
, allora
è detta localmente integrabile.
Le funzioni localmente integrabili giocano un ruolo importante nella teoria delle distribuzioni, e compaiono nel teorema di Radon-Nikodym.
Definizione alternativa
Sia
un insieme aperto di
e
l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili
a supporto compatto definite su
. Una funzione
tale che:
![{\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbe0dae34064147c94892d3f81c635a15c38e65)
è detta localmente integrabile. L'insieme di tutte queste funzioni è denotato con
.
Questa definizione trova le sue radici nell'approccio alla teoria della misura e dell'integrazione basato sul concetto di operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico, sviluppato dal gruppo Nicolas Bourbaki e altri, ed utilizzato spesso nell'ambito dell'analisi funzionale. In particolare la definizione di funzionali lineari tramite integrali di nucleo
è una pratica utilizzata nella teoria delle distribuzioni, dove in tal caso le funzioni
sono dette funzioni di test.
Si tratta di una definizione equivalente a quella standard, data in apertura, ossia:
![{\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compatto}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ed52848b89a4beb312e1e08676626f62b9ae42)
se e solo se:
![{\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cbbd1d8bc650955e58ebbb9565dc61ebdc69490)
Dimostrazione
Infatti, sia
. Essendo una funzione misurabile limitata dalla sua norma uniforme
ed avendo un supporto
compatto per la definizione standard, si ha:
![{\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aae813d634e90899ada4b0fb2e14a0f21a7a1f)
Per mostrare l'implicazione inversa, sia
un sottoinsieme compatto di
. Si vuole innanzitutto costruire una funzione di test
che maggiora la funzione indicatrice
di
. La distanza (insiemistica) tra
e la sua frontiera
è strettamente maggiore di zero, ovvero:
![{\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e434c0a4a3e58061cbf22cb75ee2a6ec39f9b5bd)
ed è quindi possibile scegliere un numero reale
tale per cui
(se
è vuoto si prende
). Siano ora
e
gli intorni chiusi di
aventi rispettivamente raggio
e
. Essi sono compatti e soddisfano:
![{\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b9dbcd45f518483700dc9b1eb2bbed48b35460)
Grazie alla convoluzione
si definisce la funzione
come:
![{\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3daa3e4ed995df332d9a3eb160f5fefccf05ec69)
dove
è un mollificatore. Dal momento che
per tutti gli
si ha che
.
Se
è una funzione localmente integrabile rispetto alla seconda definizione si ha:
![{\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e774e1e238ac891decc41daa8f4233245abfbac0)
e poiché questo vale per ogni sottoinsieme compatto
di
,
è localmente integrabile anche rispetto alla prima definizione.
Generalizzazione
Sia
un aperto di
e
una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue. Se per un dato
tale che
la funzione
soddisfa:
![{\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0deff020ecfa2d8fc999f4382f5d466c179df9)
ossia appartiene allo spazio
per tutti i sottoinsiemi compatti di
, allora
è localmente
-integrabile. L'insieme di tutte le funzioni di questo tipo si indica con
.
Proprietà
Completezza dello spazio metrico Lploc
Lo spazio
è uno spazio metrico completo per
. La sua topologia può essere generata dalla famiglia di metriche:
![{\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}},\qquad u,v\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0acd02a3e61236b12505b20e594c2ce36707c9)
dove
è una famiglia di insiemi non vuoti tale che:
, ossia
è strettamente incluso in
.
. - Le funzioni
, con
, sono una famiglia indicizzata di seminorme definita come:
![{\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\int _{\omega _{k}}|u|^{p}\,\mathrm {d} x,\qquad \forall \,u\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31d620627b5e5891f9f21be64b38d70c76aea85)
Lp come sottospazio di Lploc per p ≥ 1
Ogni funzione
, dove
e
è un aperto di
, è localmente integrabile.
Per mostrare questo fatto, data la semplicità del caso
si assume nel seguito
. Considerando la funzione indicatrice
del sottoinsieme compatto
, si ha:
![{\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a53eef8a3c990995f7e1571a7e2c4f617cafe92)
dove
è un numero positivo tale che
per un dato
, e
è la misura di Lebesgue di
. Allora, per la disuguaglianza di Hölder il prodotto
è una funzione integrabile, ossia appartiene a
e:
![{\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c11f507bfd4c516f4efb67845e7124e615aeaf)
Quindi
. Si nota che dal momento che vale:
![{\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e232cf2aeb45d4a9b10e974b9a993a8512f1c1)
Il teorema si applica anche quando
appartiene solo allo spazio delle funzioni localmente
-integrabili, e pertanto si ha come corollario che ogni funzione
, dove
, è localmente integrabile, ovvero appartiene a
.
Esempi
- Ogni funzione integrabile (globalmente) in
è localmente integrabile, cioè:
![{\displaystyle L^{1}(U)\subset L_{\mathrm {loc} }^{1}(U).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff8e83856a28510cf31163c245e6138c8f20f4f)
- Più generalmente, ogni funzione in
, con
è localmente integrabile:
![{\displaystyle L^{p}(U)\subset L_{\mathrm {loc} }^{1}(U).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da970b11f4ed44c21492d4d7c59f22c432423297)
- La funzione costante a
definita sulla retta reale è localmente integrabile, ma non globalmente. Più generalmente, le funzioni continue sono localmente integrabili. - La funzione
per
e
non è localmente integrabile su
, perché la condizione cade negli intervalli contenenti l'origine, mentre la sua restrizione a
appartiene a
.[1]
Note
- ^ Gianni Gilardi, Analisi Tre, collana McGraw-Hill Education, 2014ª ed., McGraw-Hill, p. 93. URL consultato il 14 gennaio 2018 (archiviato dall'url originale il 14 gennaio 2018).
Bibliografia
- (EN) S. Saks, Theory of the integral , Hafner (1952)
- (EN) G.P. Tolstov, On the curvilinear and iterated integral Trudy Mat. Inst. Steklov. , 35 (1950) pp. 1–101
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione localmente integrabile, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) I.A. Vinogradova, Locally integrable function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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