Funzione integrabile

Nel calcolo infinitesimale, una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito. I due integrali più usati sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue, e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo Lebesgue. Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinonimi, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Lebesgue.

Dato uno spazio di misura ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$, una funzione semplice ${\displaystyle s}$ è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.^[1]

${\displaystyle s:X\to \mathbb {R} ,s(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)}$

si definisce l'integrale di Lebesgue come:

${\displaystyle \int _{X}s(x)d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})}$

Una funzione ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore:^[2]

${\displaystyle \sup _{s}\int _{X}s(x)d\mu =:\int _{X}f(x)d\mu \ }$

dove ${\displaystyle s}$ è una arbitraria funzione semplice tale che ${\displaystyle s\leq f}$. L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su X secondo Lebesgue rispetto alla misura ${\displaystyle \mu }$, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$.

In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

${\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)\geq 0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\mbox{se}}\quad f(x)<0\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{matrix}}\right.}$

che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di ${\displaystyle f}$.

Si definisce in tal caso:^[3]

${\displaystyle \int _{X}f(x)d\mu :=\int _{X}f^{+}(x)d\mu -\int _{X}f^{-}(x)d\mu }$

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Riemann.

Una funzione ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}S(f,P,\{t_{i}\})=:\int _{a}^{b}f(x)dx}$

dove ${\displaystyle P=\{x_{1}...,x_{n}\}}$ è una arbitraria partizione dell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ con calibro minore di ${\displaystyle \delta }$ (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data), ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ e:

${\displaystyle S(f,P,\{t_{i}\})=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste un ${\displaystyle \delta >0}$ tale che per ogni partizione di ${\displaystyle [a,b]}$ con calibro minore di ${\displaystyle \delta }$ e per ogni scelta dei relativi punti ${\displaystyle t_{i}}$ vale:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx-S(f,P,\{t_{i}\})\right|<\varepsilon }$

Tra gli altri tipi di operatori integrali vi sono:

• Integrale di Riemann-Stieltjes
• Integrale di Lebesgue-Stieltjes
• Integrale di Bochner
• Integrale di Darboux
• Integrale di Daniell
• Integrale di Itō
• Integrale di Henstock-Kurzweil

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

• Integrale
• Funzione localmente integrabile
• Funzione a quadrato sommabile
• Spazio Lp

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