Збіжність в
в функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах — вид збіжності вимірних функцій або випадкових величин.
Визначення
Нехай
— простір з мірою. Тоді простір
вимірних функцій, таких что їх
-та степінь, де
, інтегровна за Лебегом, є метричним. Метрика в цьому просторі має вигляд:
.
Нехай дана послідовність
. Тоді кажуть, що ця послідовність збігається в
до функції
, якщо вона збігається в метриці, визначеній вище, тобто
.
Пишуть:
.
У термінах теорії ймовірностей, послідовність випадкових величин
збігається до
з того ж простору, якщо
.
Пишуть:
.
Термінологія
- Збіжність в просторі
називається збіжністю в середньому. - Збіжність в просторі
називається збіжністю в середньоквадратичному.
Властивості збіжності в
- Єдиність границі. Якщо
и
, то
-майже всюди (
-майже напевно).
- Простір
повний. Якщо
при
, то існує
, такий що
.
- Із збіжності в
випливає збіжність за мірою (за ймовірністю). Якщо
, то
.
Джерела