Dualbas

En dualbas är ett begrepp inom linjär algebra som syftar på en speciell bas i ett vektorrums dualrum, givet en bas i det ursprungliga vektorrummet.

Definition

Givet ett ändligtdimensionellt vektorrum V och en bas till V bestående av element (ei), konstrueras en dualbas bestående av element (fi) i dualrummet V* genom:

f i ( e j ) = { 1 i = j 0 i ≠ j . {\displaystyle f_{i}(e_{j})={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}.}

Linjäriteten hos funktionalerna fi gör att detta definierar fi:s värde för alla vektorer i V. Andra notationer för fi är ei* och ei.

Om V är ett ändligtdimensionellt vektorrum är dualbasen en bas för dualrummet. Är V oändligtdimensionellt är detta inte garanterat.

Exempel

Komplexa tal

Om man betraktar de komplexa talen som vektorrum över de reella talen och väljer basvektorerna 1 och i blir dualbasen Re och Im, de funktioner som avbildar ett komplext tal på dess real- respektive imaginärdel.

Polynomrum

Låt V vara vektorrummet bestående av polynom med grad mindre än eller lika med 2, dvs polynom på formen ax2 + bx + c. Ta {1, x, x2} som bas för V. Vi får då dualbasen {f1, f2, f3}:

f 1 ( a x 2 + b x + c ) = a f 1 ( x 2 ) + b f 1 ( x ) + c f 1 ( 1 ) = c {\displaystyle f_{1}(ax^{2}+bx+c)=af_{1}(x^{2})+bf_{1}(x)+cf_{1}(1)=c}
f 2 ( a x 2 + b x + c ) = a f 2 ( x 2 ) + b f 2 ( x ) + c f 2 ( 1 ) = b {\displaystyle f_{2}(ax^{2}+bx+c)=af_{2}(x^{2})+bf_{2}(x)+cf_{2}(1)=b}
f 3 ( a x 2 + b x + c ) = a f 3 ( x 2 ) + b f 3 ( x ) + c f 3 ( 1 ) = a {\displaystyle f_{3}(ax^{2}+bx+c)=af_{3}(x^{2})+bf_{3}(x)+cf_{3}(1)=a}

Dualbasvektorerna kan tolkas som:

f 1 ( p ) = p ( 0 ) f 2 ( p ) = d p d x ( 0 ) f 3 ( p ) = 1 2 d 2 p d x 2 ( 0 ) {\displaystyle f_{1}(p)=p(0)\qquad f_{2}(p)={\frac {dp}{dx}}(0)\qquad f_{3}(p)={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}(0)} .

Referenser

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 

Se även

  • Reflexivt rum