Absolut Galoisgrupp

Inom matematiken är den absoluta Galoisgruppen G_K av en kropp K Galoisgruppen av K^sep över K, där K^sep är ett separabelt hölje av K. Alternativt är den gruppen av alla automorfier av det algebraiska höljet av K som fixerar K. Den absoluta Galoisgruppen är unik så när som på isomorfi. Den är en proändlig grupp.

Då K är en perfekt kropp, är K^sep samma som det algebraiska höljet K^alg av K. Detta gäller t.ex. för K med karakteristik noll, eller då K är en ändlig kropp.

Exempel

Den absoluta Galoisgruppen av en algebraiskt sluten kropp är trivial.
Den absoluta Galoisgruppen av reella talen är en cyklisk grupp av två element (komplexkonjugation och identiteten), eftersom C är det separabla höljet av R och [C:R] = 2.
Den aboluta Galoisgruppen av en ändlig kropp K är isomorfisk till gruppen

{\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .

(För beteckningen, se inverst limes.)

Frobeniusautomorfin Fr är en kanonisk (topologisk) generator av G_K. (Frobeniusautomorfin definieras som Fr(x) = x^q för alla x i K^alg, där q är antalet element i K.)

Den absoluta Galoishgruppen av kroppen av rationella funktioner med komplexa koefficienter är fri (som en proändlig grupp). Detta resultat bevisades av Adrien Douady och har sina rötter i Riemanns existenssats.^[1]
Mer allmänt, låt C vara en algebraiskt sluten kropp och x en variabel. Då är den absoluta Galoisgruppen av K = C(x) fri med ranf lika med kardinaliteten av C. Detta resultat upptäcktes av David Harbater och Florian Pop, och bevisades senare även av Dan Haran och Moshe Jarden med algebraiska metoder.^[2]^[3]^[4]
Låt K vara en ändlig utvidgning av p-adiska talen Q_p. För p ≠ 2 är dess absoluta Galoisgrupp genererad av [K:Q_p] + 3 element och har en explicit beskrivning av generatorer och relationer. Detta är ett resultat av Uwe Jannsen och Kay Wingberg.^[5]^[6] Några resultat är kända i fallet p = 2, men strukturen av Q₂ är inte känd.^[7]
Ett annat fall då den absoluta Galoisgruppen kan bestämmas är den största totalt reella delkroppen av kroppen av algebraiska talen.^[8]

Några allmänna resultat

Varje proändlig grupp förekommer som Galoisgruppen av någon Galoisutvidgning,^[9] men varje proändlig grupp förekommer inte som en absolut Galoisgrupp.

Varje projektiv proändlig grupp kan ses som den absoluta Galoisgruppen av en pseudoalgebraiskt sluten kropp. Detta bevisades av Alexander Lubotzky och Lou van den Dries.^[10]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Absolute Galois group, 3 augusti 2014.

Källor

Douady, Adrien (1964), ”Détermination d'un groupe de Galois”, Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris 258: 5305–5308
Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, "11" (3rd), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9
Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), ”The absolute Galois group of C(x)”, Pacific Journal of Mathematics 196 (2): 445–459, doi:10.2140/pjm.2000.196.445
Harbater, David, ”Fundamental groups and embedding problems in characteristic p”, Recent developments in the inverse Galois problem, Contemporary Mathematics, "186", Providence, RI: American Mathematical Society, s. 353–369
Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), ”Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${\mathfrak {p}}$ -adischer Zahlkörper”, Inventiones Mathematicae 70: 71–78, doi:10.1007/bf01393199
Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, "323", Berlin: Springer-Verlag, MR 1737196, ISBN 978-3-540-66671-4
Pop, Florian (1995), ”Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture”, Inventiones Mathematicae 120 (3): 555–578, doi:10.1007/bf01241142