Brocardove tačke u trouglu

Ime su dobile po francuskom matematičaru Henri Brocardu (1845 - 1922). U trouglu ${\displaystyle ABC}$ tačka P je prva Brokardova tačka ako važi da su uglovi između duži ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$ i ${\displaystyle CP}$ i stranica ${\displaystyle c}$,${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ redom, jednaki, tj.

${\displaystyle \measuredangle PAB=\measuredangle PBC=\measuredangle PCA=\omega }$

Tačka P je prva Brokardova tačka u trouglu ${\displaystyle ABC}$, a ugao ${\displaystyle \omega }$ Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brokardova tačka ${\displaystyle Q}$, trougla ${\displaystyle ABC}$ takva da su jednaki uglovi između duži ${\displaystyle AQ}$, ${\displaystyle BQ}$, ${\displaystyle CQ}$ i stranica ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ i${\displaystyle a}$ redom, tj.

${\displaystyle \measuredangle QCB=\measuredangle QBA=\measuredangle QCA=\omega }$

Teorema

Za svaki trougao postoje prva i druga Brokardova tačka.

Dokaz

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi ${\displaystyle \measuredangle TAB=\measuredangle TBC=X}$ tada je

${\displaystyle \measuredangle TBA=\measuredangle B-X=>\measuredangle BTA=180-\measuredangle B}$

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž ${\displaystyle AB}$ vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle T}$. To je ${\displaystyle C_{c}}$ . Na isti način nacrtajmo kružnicu ${\displaystyle C_{a}}$. Izabereno tačku U tako da važi:

${\displaystyle \measuredangle UBC=\measuredangle UCA}$

U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brokardovu tačku, jer za presječnu tačku ${\displaystyle P}$ važi: ${\displaystyle \measuredangle PAB=\measuredangle =PBC=\measuredangle PCA}$

Drugu Brokardovu tačku nalazimo analogno

Za Brokardov ugao ω važi jednakost:

${\displaystyle cot\omega =cot\measuredangle A+cot\measuredangle B+cot\measuredangle C}$

Dokaz

Obilježimo sa P Brokardovu tačku trougla ${\displaystyle ABC}$. Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

${\displaystyle {\frac {CP}{sin(A-\omega }}={\frac {AC}{sin(\measuredangle APC}}}$ i

${\displaystyle {\frac {CP}{sin\omega }}={\frac {BC}{sin\measuredangle BPC}}}$

Iz ranije dokazanog

${\displaystyle \measuredangle APC=180-\measuredangle A}$ i

${\displaystyle \measuredangle BPC=180-\measuredangle C}$

Dijeljenjem prve jednačine sa drugom dobijamo da je

${\displaystyle {\frac {sin\omega }{sin(A-\omega )}}={\frac {AC}{BC}}{\frac {sin\measuredangle C}{sin\measuredangle A}}=>}$${\displaystyle sin(A-\omega )={\frac {a}{b}}{\frac {sin\measuredangle A}{sin\measuredangle C}}}$

Iz sinusne teoreme znamo da važi

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {sin\measuredangle A}{sin\measuredangle B}}=>sin(A-\omega )={\frac {(sin\measuredangle A)^{2}\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}}}$

${\displaystyle sin(A-\omega )=sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega }$

${\displaystyle sin\measuredangle Acos\omega -cos\measuredangle asin\omega ={\frac {(sin\measuredangle A)^{2}\omega }{sin\measuredangle B\measuredangle C}}}$

Daljim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

Teorema

Važi: ${\displaystyle cot\omega ={\frac {s^{2}+b^{2}+c^{2}}{4P}}}$ gde je P površina trougla ${\displaystyle ABC}$.

Trilinearne koordinate Brokarovih tačaka

${\displaystyle P{\begin{bmatrix}c/b:a/c:b/a\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q{\begin{bmatrix}b/c:c/a:a/b\end{bmatrix}}}$

Neka je ${\displaystyle ABCD}$ tetivničetvorougao. Prave ${\displaystyle AB}$ i ${\displaystyle CD}$ se sijeku u tački E, prave ${\displaystyle AD}$ i ${\displaystyle BC}$ se sijeku u tački F a prave ${\displaystyle AC}$ i ${\displaystyle BD}$ u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla ${\displaystyle ABCD}$ ortocentar trougla ${\displaystyle EFG}$.

Dokaz

Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice

[Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice

Presjek tetiva ${\displaystyle ab}$ i ${\displaystyle cd}$ jedninične kružnice je tačka

${\displaystyle t={\frac {ab(c+d)-cd(a+b}{ab-cd}}}$ ]

važe jednakosti:

${\displaystyle e={\frac {ab(c+d)-cd(a+b)}{ab-cd}}}$

${\displaystyle f={\frac {ad(b+c)-bc(a+d)}{ad-bc}}}$

${\displaystyle g={\frac {ac(b+d)-bd(a+c)}{ac-bd}}}$

Da bismo pokazali da je ${\displaystyle o}$ ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je ${\displaystyle of\perp eg}$ i ${\displaystyle og\perp ef}$.

Zbog simetrije, dovoljno je dokazati

${\displaystyle {\frac {f-o)}{f-{\bar {o}}}}={\frac {e-g)}{e-{\bar {g}}}}}$

${\displaystyle {\frac {f-o)}{f-{\bar {o}}}}={\frac {f)}{\bar {f}}}={\frac {{\frac {ad(b+c)-bc(a+a)}{ad-bc}})}{\frac {(b+c)-(a+d)}{ad-bc}}}=<math>f={\frac {ad(b+c)-bc(a+d)}{(b+c)-(a+d)}}}$

${\displaystyle e-g={\frac {(a-d)(ab^{2}d-ac^{2}d)-(b-c)(bcd^{2}-a^{2}bc)}{(ab-cd)(ac-bd)}}=}$

${\displaystyle {\frac {(a-d)(b-c)(b+c)ad-(a+d)bc}{(ab-cd)(ac-bd)}}}$

Konjugovanjem dobijamo

${\displaystyle {\bar {e}}-{\bar {g}}={\overline {({\frac {(a-d)(b-c)(b+c)ad-(a+d)bc}{(ab-cd)(ac-bd)}})}}={\frac {(a-d)(b-c)(b+c)-(a+d)}{(ab-cd)(ac-bd)}}}$

Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je dokazana Brokardova teorema.

Značajne tačke i linije u trouglu