Teorema lui Napoleon

Teorema lui Napoleon

În geometrie, teorema zisă a lui Napoleon este o problemă de geometrie sintetică.

Enunț

Dat fiind un triunghi oarecare ΔABC, pe laturile acestuia se construiesc în exterior trei triunghiuri echilaterale: ΔABZ, ΔBCX și ΔACY (sau toate trei în interior). Să se arate că centrele N, L și respectiv M ale triunghiurilor construite formează un triunghi echilateral.

Demonstrații

Prin triunghiuri asemenea

Triunghiurile ΔAMC și ΔANZ sunt asemenea, pentru că au unghiuri corespondente egale de 30°, 30° și respectiv 120°. De aici rezultă AM/AN = AC/AZ.

Aceasta, împreună cu egalitatea unghiurilor ∢ {\displaystyle \sphericalangle } MAN și ∢ {\displaystyle \sphericalangle } CAZ, implică asemănarea triunghiurilor ΔAMN ~ ΔACZ, cu raportul de asemănare AC/AM = √3 = CZ/MN

Similar se obține CZ/LN = √3, de unde rezultă MN = LN.

Același raționament de mai sus se aplică pentru a arăta că LN = ML.

În concluzie MN = LN = ML, deci triunghiul MNL este echilateral.

Prin numere complexe

Se notează j = e i 2 π 3 {\displaystyle j=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}} (rădăcină a unității).

Înzestrând planul complex cu un reper ortonormat fie a, b, c, l, m și n afixele punctelor A, B, C, L, M și N în acest reper.

Prin construcție, A este imaginea lui B prin rotație de centru N și unghi + 2 π 3 {\displaystyle \textstyle {+{\frac {2\pi }{3}}}} , ceea ce se traduce prin :

( a − n ) = j ( b − n ) . {\displaystyle (a-n)=j(b-n).}

La fel:

( b − l ) = j ( c − l ) și ( c − m ) = j ( a − m ) . {\displaystyle (b-l)=j(c-l)\quad {\text{și}}\quad (c-m)=j(a-m).}

Se deduce:

( 1 − j ) n = a − j b , ( 1 − j ) l = b − j c și ( 1 − j ) m = c − j a . {\displaystyle (1-j)n=a-jb,\quad (1-j)l=b-jc\quad {\text{și}}\quad (1-j)m=c-ja.}

Cum însă 1 j + 1 + j = 0 {\displaystyle \textstyle {{\frac {1}{j}}+1+j=0}} și j 3 = 1 {\displaystyle j^{3}=1} , se obține:

( 1 − j ) ( m − n ) = ( − 1 − j ) a + j b + c = j 2 a + j 4 b + j 3 c = − j 2 [ − a + ( 1 + j ) b − j c ] = − j 2 [ ( b − j c ) − ( a − j b ) ] = − j 2 ( 1 − j ) ( l − n ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-j)(m-n)&=(-1-j)a+jb+c\\&=j^{2}a+j^{4}b+j^{3}c\\&=-j^{2}[-a+(1+j)b-jc]\\&=-j^{2}[(b-jc)-(a-jb)]\\&=-j^{2}(1-j)(l-n)\end{aligned}}}

Împărțind la ( 1 − j ) {\displaystyle (1-j)} rezultă ( m − n ) = − j 2 ( l − n ) {\displaystyle (m-n)=-j^{2}(l-n)} sau ( m − n ) = e i π 3 ( l − n ) {\displaystyle \scriptstyle (m-n)=e^{i{\frac {\pi }{3}}}(l-n)} .

M este imaginea lui L prin rotație de centru N și unghi + π 3 {\displaystyle \textstyle {+{\frac {\pi }{3}}}} deci N L M {\displaystyle NLM} este un triunghi echilateral.

Vezi și

Pentru alte probleme care au soluții cu triunghiuri asemenea:

  • Listă de probleme de geometrie

Culegeri de probleme

  • Grigore Gheba, Exerciții și probleme de matematică, clasele V-VIII, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975
  • G. Țițeica, Probleme de geometrie, ediția a VI-a, Editura Tehnică București, 1961.
  • W. J. Lougheed and J. G. Workman, Geometry for High Schools, The Macmillan Company of Canada Limited, 1935

Legături externe

Portal icon Portal Matematică
  • Aplet Java pentru Teorema lui Napoleon