Mulțime închisă multiplicativ

În algebra abstractă o mulțime închisă multiplicativ (sau mulțime multiplicativă[1]) este o submulțime S a unui inel R în care sunt valabile următoarele două condiții:[2][3]

  • 1 ∈ S {\displaystyle 1\in S} ,
  • x y ∈ S {\displaystyle xy\in S} pentru toți x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} .

Cu alte cuvinte, S este închisă pentru produsele finite, inclusiv produsul vid⁠(d) 1.[4] Echivalent, o mulțime multiplicativă este un submonoid al monoidului multiplicativ al unui inel.

Mulțimile multiplicative sunt importante mai ales în algebra comutativă, unde sunt folosite pentru a construi localizări⁠(d) de inele comutative.

O submulțime S a unui inel R se spune că este saturată dacă este închisă pentru diviziune: adică, ori de câte ori un produs xy este în S, elementele x și y sunt și ele în S.

Exemple

Exemple de mulțimi multiplicative:

  • complementara unui ideal prim dintr-un inel comutativ;
  • mulțimea {1, x, x2, x3, ...} , unde x este un element al unui inel;
  • mulțimea unităților⁠(d) unui inel;
  • mulțimea divizorilor dintr-un inel care nu sunt divizori ai lui zero;
  • 1 + I pentru un ideal I;
  • numerele Jordan–Pólya, închiderea multiplicativă a factorialelor.

Proprietăți

  • Un ideal P al unui inel comutativ R este prim dacă și numai dacă complementara sa R \ P este închisă multiplicativ.
  • O submulțime S este atât saturată, cât și închisă multiplicativ dacă și numai dacă S este complementara unei reuniuni de ideale prime.[5] În special, complementara unui ideal prim este atât saturată, cât și închisă multiplicativ.
  • Intersecția unei familii de mulțimi multiplicative este o mulțime multiplicativă.
  • Intersecția unei familii de mulțimi saturate este saturată.

Note

  1. ^ marius Vlădoiu, Sinteza lucrării TE 46, nr. 83/2010, anul 2011, Universitatea din București, 2011, p. 5, accesat 2023-08-26
  2. ^ Atiyah and Macdonald, p. 36.
  3. ^ Lang, p. 107.
  4. ^ Eisenbud, p. 59.
  5. ^ Kaplansky, p. 2, Theorem 2.

Bibliografie

  • en M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.
  • en David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.
  • en Kaplansky, Irving (), Commutative rings (ed. Revised), University of Chicago Press, MR 0345945 
  • en Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.
Portal icon Portal Matematică