Equação de Schwinger-Dyson

A equação Schwinger-Dyson, de acordo com Julian Schwinger e Freeman Dyson, é uma equação da Teoria quântica de campos. Dada uma função F delimitada sobre as configurações do campo e, em seguida, para cada estado | ψ> (que é a solução QFT), então:

< ψ | T { δ δ ϕ F [ ϕ ] } | ψ >= − i < ψ | T { F [ ϕ ] δ δ ϕ S [ ϕ ] } | ψ > {\displaystyle <\psi |{\mathcal {T}}\{{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]\}|\psi >=-i<\psi |{\mathcal {T}}\{F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]\}|\psi >}

S com a função de ação e \mathcal (T) operação ordenada de tempo.

Da mesma forma, na formulação do estado densidade para qualquer estado (válidos) ρ, temos:

ρ ( T { δ δ ϕ F [ ϕ ] } ) = − i ρ ( T { F [ ϕ ] δ δ ϕ S [ ϕ ] } ) {\displaystyle \rho ({\mathcal {T}}\{{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]\})=-i\rho ({\mathcal {T}}\{F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]\})}

Estas infinitas equações podem ser usados para resolver a funções correlativas sem interrupção.

Isso também pode reduzir a ação por separação S: S [φ] = 1 / 2 D-1ij φ i + j φ Sint [φ] para o primeiro mandato quadrático D-1 e um maior rigor covariante simétrico e reversível na notação de categoria 2, na notação de DeWitt. Assim, podemos reescrever as equações do seguinte modo:

< ψ | T { F ϕ j } | ψ >=< ψ | T { i F , i D i j − F S i n t , i D i j } | ψ > {\displaystyle <\psi |{\mathcal {T}}\{F\phi ^{j}\}|\psi >=<\psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{int,i}D^{ij}\}|\psi >}

Se F é uma função de φ e, em seguida, para um operador K, M [K] é definido como um operador que substitui K φ. Por exemplo, se

F [ ϕ ] = ∂ k 1 ∂ x 1 k 1 ϕ ( x 1 ) ⋯ ∂ k n ∂ x n k n ϕ ( x n ) {\displaystyle F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})}

e G é uma função de J, então:

F [ − i δ δ J ] G [ J ] = ( − i ) n ∂ k 1 ∂ x 1 k 1 δ δ J ( x 1 ) ⋯ ∂ k n ∂ x n k n δ δ J ( x n ) G [ J ] {\displaystyle F[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J]} .

Se temos uma função analítica Z (conhecida função geradora) J (fonte conhecida do campo) satisfazendo a equação:

δ n Z δ J ( x 1 ) ⋯ δ J ( x n ) [ 0 ] = i n Z [ 0 ] < ϕ ( x 1 ) ⋯ ϕ ( x n ) > {\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[0]=i^{n}Z[0]<\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})>} ,

então usando a equação Schwinger-Dyson para o geradorr Z:

δ S δ ϕ ( x ) [ − i δ δ J ] Z [ J ] + J ( x ) Z [ J ] = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]Z[J]+J(x)Z[J]=0}