A constante de Catalan, normalmente expressa pela letra
, é o valor numérico da série
,
ou seja, o valor da função beta de Dirichlet
. A constante é assim denominada em homenagem a Eugène Charles Catalan (1814–1894). Sua irracionalidade é aceita, porém ainda não demonstrada.
História
Catalan denominou esta constante como G em seu trabalho de 1883, acompanhado este por diversas representações integrais e em série. A denominação G provem possivelmente do engenheiro Jacques Bresse.
Valor
Um valor aproximado é
![{\displaystyle G=0,91596559417721901505...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33d0587a2d5d24a7e1e676fabc613ae864e76cf)
Atualmente (16 de abril de 2009) são conhecidos 31.026.000.000 dígitos[1].
Outras representações
Dentre as inúmeras representações, algumas são apresentadas a seguir.
Integral
![{\displaystyle G=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055e6afda51eb86b685e1be924111c4c05c05db9)
![{\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,{\rm {d}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbc0ac4f01f1913530a5107c7edd989b426cdc5)
![{\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fafaa8601279b6e2a4c477eebcb29cc4ace213)
Série
De acordo com Ramanujan:
.
Também converge rapidamente a soma:
![{\displaystyle G={\tfrac {1}{64}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^{2}-24n+3)\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{2}}{n^{3}\cdot (2n-1)\cdot (4n)!^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a142edaa8c63908f2961cea7e269fa4ddfb930e)
Séries tipo BBP
Tentou-se encontrar séries do tipo BBP. Uma série de 9 termos foi apresentada por Victor Adamchik em 2007:
![{\displaystyle G={\tfrac {3}{64}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{64^{n}}}\left({\tfrac {32}{(12n+1)^{2}}}-{\tfrac {32}{(12n+2)^{2}}}-{\tfrac {32}{(12n+3)^{2}}}-{\tfrac {8}{(12n+5)^{2}}}-{\tfrac {16}{(12n+6)^{2}}}-{\tfrac {4}{(12n+7)^{2}}}-{\tfrac {4}{(12n+9)^{2}}}-{\tfrac {2}{(12n+10)^{2}}}+{\tfrac {1}{(12n+11)^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018cc55e763a64bce19879aea2de7c57a22f4d1f)
Referências
- ↑ http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html
Bibliografia
- Lasar Aronowitsch Ljusternik: Mathematical Analysis. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, 1965, S.313−314.
- Weisstein, Eric W. «Catalan's Constant» (em inglês). MathWorld