Wykres funkcji

Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ gdzie ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór ${\displaystyle S\subset X\times Y}$ dany wzorem:

${\displaystyle S=\left\{{\big (}x,\;f(x){\big )}\colon x\in X\right\}.}$

Argumentem nie musi być liczba rzeczywista, równie dobrze argumentem może być element przestrzeni wielowymiarowej, to samo odnosi się do zbioru ${\displaystyle Y.}$ Przykładowo, gdy ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ to ${\displaystyle S=\left\{{\big (}x,\;f(x){\big )}\colon x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}\subseteq \mathbb {R} ^{n+m}.}$

Inaczej: jest to zbiór par wszystkich elementów dziedziny oraz elementów na które funkcja ${\displaystyle f}$ przeprowadza elementy dziedziny. Takie określenie wykresu funkcji daje nam identyczność funkcji i jej wykresu, jeśli przyjmiemy również popularną definicję formalną samej funkcji.

Mając dany wykres funkcji jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych można odczytać miejsca zerowe funkcji, punkty ekstremalne i osobliwe oraz ustalić własności takie jak monotoniczność czy okresowość.

Przykłady

• Dla funkcji ${\displaystyle f\colon U\to V,\quad U,\;V\subset \mathbb {R} }$ jednej zmiennej wykresem są wszystkie punkty postaci

${\displaystyle (u,v)\in U\times V,}$ gdzie ${\displaystyle u\in U\subset \mathbb {R} }$ oraz ${\displaystyle v=f(u)\in V\subset \mathbb {R} .}$

Jest to podzbiór płaszczyzny przedstawiany zwykle w układzie współrzędnych kartezjańskich^[1].

• W przypadku funkcji dwóch zmiennych

${\displaystyle f\colon X\times Y\to Z,\quad X\times Y\subset \mathbb {R} ^{2},\quad Z\subset \mathbb {R} ,}$

wykresem funkcji ${\displaystyle f}$ są wszystkie punkty postaci

${\displaystyle {\big (}x,\;y,\;f(x,\;y){\big )}\in \mathbb {R} ^{3}.}$

Jeżeli funkcja jest ciągła, a dziedzina jest obszarem na płaszczyźnie, to wykres tej funkcji jest powierzchnią „zawieszoną” nad tym obszarem.

Zobacz też

• iloczyn kartezjański
• wykres

Przypisy