Warstwa (teoria grup)

Warstwa – podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste i wyczerpują całą grupę[a].

Każda podgrupa wyznacza dwie relacje równoważności o tej samej liczbie warstw – liczbę tę nazywa się indeksem tej podgrupy względem danej grupy[b]; elementy jednego podziału nazywa się warstwami lewostronnymi, zaś drugiego – prawostronnymi, co ma swoje źródło w charakteryzacji tych zbiorów (zob. Definicja i Własności). Jeżeli obie wspomniane relacje równoważności wprowadzają ten sam podział, to podgrupę wyznaczającą te relacje (ten podział) nazywa się podgrupą normalną.

Pojęcie warstwy umożliwia więc algebraiczną charakteryzację klas tych relacji równoważności, które wprowadzają w grupie podział respektujący jej strukturę; przy założeniu normalności podgrupy wyznaczającej podział zbioru elementów grupy, można na nim (tj. zbiorze ilorazowym) określić strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową (zob. Normalność).

Motywacja

 Zobacz też: rozbicie zbioru, relacja równoważności i kongruencja.
Graf przedstawia funkcję, która wprowadza podział w zbiorze X , {\displaystyle X,} mianowicie dzieli ona dziedzinę na dwa zbiory { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} oraz { 3 } {\displaystyle \{3\}} będące włóknami odpowiednio nad elementami d , c ∈ Y {\displaystyle d,c\in Y} tworzącymi obraz zbioru X , {\displaystyle X,} który można utożsamiać z rzutem kanonicznym X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} wprowadzanej relacji równoważności. Uwaga: włókna mogą mieć dowolną, niezerową liczbę elementów; analogiczna konstrukcja dla grup wymusza, by włókna (warstwy) były równoliczne.

Podział zbioru S {\displaystyle S} można przeprowadzić, określając na nim relację równoważności ∼ , {\displaystyle \sim ,} która podzieli go na rozłączne, niepuste i sumujące się do S {\displaystyle S} klasy o wskazanej przez ∼ {\displaystyle \sim } własności. Każdą relację ∼ {\displaystyle \sim } na S {\displaystyle S} można z kolei wprowadzić za pomocą pewnej funkcji f : S → S ′ ; {\displaystyle f\colon S\to S';} dwa elementy x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} pozostają ze sobą w relacji ∼ {\displaystyle \sim } wtedy i tylko wtedy, gdy ich obrazy w funkcji f {\displaystyle f} są równe,

x ∼ y ⇔ f ( x ) = f ( y ) ; {\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow f(x)=f(y);}

mówi się też wtedy, że x , y {\displaystyle x,y} należą do jądra ker ⁡ f {\displaystyle \ker f} funkcji f . {\displaystyle f.}

Innymi słowy utożsamiane są te elementy dziedziny, które w obrazie przekształcane są na ten sam element s ′ ∈ S ′ ; {\displaystyle s'\in S';} zbiór tych elementów dziedziny, czyli f − 1 [ s ′ ] {\displaystyle f^{-1}[s']} nazywa się włóknem bądź poziomicą albo warstwicą nad s ′ . {\displaystyle s'.} Obraz f [ S ] ⊆ S ′ {\displaystyle f[S]\subseteq S'} można z kolei utożsamiać ze zbiorem S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} klas równoważności ∼ , {\displaystyle \sim ,} czyli funkcja S → f [ S ] {\displaystyle S\to f[S]} wyznacza i jest wyznaczana przez odwzorowanie ilorazowe S → S ¯ . {\displaystyle S\to {\overline {S}}.}

Powyższe obserwacje można zastosować do homomorfizmu grup φ : G → G ′ , {\displaystyle \varphi \colon G\to G',} którego kluczową cechą jest to, że przekształca on nie tylko zbiór G {\displaystyle G} w G ′ , {\displaystyle G',} ale całą grupę G {\displaystyle G} w grupę G ′ , {\displaystyle G',} czyli oprócz ich nośników przenosi (w takim zakresie, w jakim jest to możliwe) również działanie grupowe G {\displaystyle G} do G ′ . {\displaystyle G'.} W tym przypadku jądro H = ker ⁡ φ {\displaystyle H=\ker \varphi } jest podgrupą w G {\displaystyle G} [c]. Otrzymuje się wtedy relację równoważności (podział) w G , {\displaystyle G,} której charakterystyczną własnością jest to, iż H {\displaystyle H} jest jedną z jej klas równoważności; w ogólności są one postaci a H = { a h : h ∈ H } {\displaystyle aH=\{ah\colon h\in H\}} dla a ∈ G {\displaystyle a\in G} [d][e], a ponadto są równoliczne (zob. Własności, por. rysunek obok). Bezpośrednio stąd wynika, tak jak w opisanym wyżej przypadku teoriomnogościowym, że elementy φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} odpowiadają wprost warstwom a ( ker ⁡ φ ) {\displaystyle a(\ker \varphi )} [f], tzn. obraz φ [ G ] {\displaystyle \varphi [G]} można utożsamiać ze zbiorem G ¯ {\displaystyle {\overline {G}}} warstw grupy G {\displaystyle G} względem H {\displaystyle H} [g].

Podział grupy na warstwy względem podgrupy jest więc pojęciem węższym, a przede wszystkim algebraicznie bardziej użytecznym, od dowolnego podziału (zbioru elementów) grupy – tego rodzaju konstrukcję nazywa się kongruencją (przystawaniem). W ogólności przyjmuje się, że H {\displaystyle H} może być dowolną podgrupą w G , {\displaystyle G,} co sprawia, że wyznacza ona dwie, potencjalnie różne relacje równoważności; podgrupa wyznacza jeden podział wtedy i tylko wtedy, gdy jest jądrem homomorfizmu[h] – do tego zaś potrzeba, a zarazem wystarcza, by była ona normalna (zob. osobna sekcja).

Definicja

 Zobacz też: grupa i podgrupa.

Niech G {\displaystyle G} będzie dowolną grupą, H {\displaystyle H} jej dowolną podgrupą. Podzbiory grupy G {\displaystyle G} dane jako

a H = { a h : h ∈ H }  oraz  H a = { h a : h ∈ H } {\displaystyle aH=\{ah\colon h\in H\}\quad {\text{ oraz }}\quad Ha=\{ha\colon h\in H\}}

dla a ∈ G {\displaystyle a\in G} nazywa się odpowiednio warstwami lewostronną i prawostronną grupy G {\displaystyle G} względem H {\displaystyle H} wyznaczonymi przez element a ; {\displaystyle a;} jeżeli są one równe, tzn. a H = H a , {\displaystyle aH=Ha,} to mówi się wtedy po prostu o warstwach (obustronnych).

Moc zbioru G / H = { a H : a ∈ G } , {\displaystyle G/H=\{aH\colon a\in G\},} oznaczanego też G : H , {\displaystyle G:H,} wszystkich warstw lewostronnych nazywa się indeksem podgrupy H {\displaystyle H} względem grupy G {\displaystyle G} i oznacza jednym z symboli [ G : H ] , ( G : H ) {\displaystyle [G:H],(G:H)} lub | G : H | {\displaystyle |G:H|} [1][2]; tak samo oznacza się i nazywa moc zbioru G ∖ H = { H a : a ∈ G } {\displaystyle G\backslash H=\{Ha\colon a\in G\}} (nie mylić z różnicą zbiorów G ∖ H {\displaystyle G\smallsetminus H} ) wszystkich warstw prawostronnych, gdyż liczby te są równe (zob. dalej). Spotyka się również odwrócone oznaczenie zbioru warstw prawostronnych, mianowicie H ∖ G {\displaystyle H\backslash G} (bywa ono stosowane jako element notacji warstw podwójnych); jest ono o tyle „bezpieczniejsze”, iż zawsze H ∖ G = ∅ . {\displaystyle H\smallsetminus G=\varnothing .} Jeżeli N {\displaystyle N} jest podgrupą normalną, to G / N = G ∖ N {\displaystyle G/N=G\backslash N} (zob. Normalność) i wtedy zbiór warstw[i] oznacza się zwykle wyłącznie za pomocą pierwszego z przytoczonych symboli, tj. jak zbiór warstw lewostronnych[j].

Własności

Jeżeli e {\displaystyle e} oznacza element neutralny w G , {\displaystyle G,} to warstwa lewostronna e H {\displaystyle eH} równa jest podgrupie H , {\displaystyle H,} a ta jest równa warstwie prawostronnej H e {\displaystyle He} [k] (warstwa ta jest jedyną wśród nich podgrupą, gdyż tylko ona zawiera element neutralny); równości a H = H {\displaystyle aH=H} oraz H a = H {\displaystyle Ha=H} zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy a ∈ H {\displaystyle a\in H} [l]. Równość a H = b H {\displaystyle aH=bH} warstw lewostronnych zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b h {\displaystyle a=bh} dla pewnego h ∈ H {\displaystyle h\in H} [m], co wprost z definicji warstwy jest równoważne warunkowi a ∈ b H , {\displaystyle a\in bH,} bądź a − 1 b ∈ H {\displaystyle a^{-1}b\in H} [n], który można również zastąpić równością a − 1 b H = H {\displaystyle a^{-1}bH=H} [o]; podobnie dla warstw prawostronnych[p].

Grupa G {\displaystyle G} jest sumą parami rozłącznych warstw lewostronnych[q] i podobnie dla warstw prawostronnych; innymi słowy warstwy lewo- i prawostronne względem H {\displaystyle H} wprowadzają odpowiednio podziały G / H {\displaystyle G/H} oraz G ∖ H {\displaystyle G\backslash H} w zbiorze elementów grupy G {\displaystyle G} (które nie muszą być identyczne, zob. kolejną sekcję i Przykłady). Ze wzajemnej odpowiedniości podziałów i relacji równoważności wynika, że wspomniane podziały można uzyskać za pomocą relacji równoważności ∼ {\displaystyle \sim } bądź ∽ {\displaystyle \backsim } utożsamiających elementy z jednej warstwy lewo- bądź prawostronnej, tzn. a ∼ b ⇔ a H = b H {\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow aH=bH} albo a ∽ b ⇔ H a = H b {\displaystyle a\backsim b\Leftrightarrow Ha=Hb} (por. wzór Motywacja); opierając się na powyższych własnościach równości warstw, relacje te definiuje się zwykle za pomocą równoważnych wzorów[r]

a ∼ b ⇔ a − 1 b ∈ H  oraz  a ∽ b ⇔ a b − 1 ∈ H , {\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b\in H\quad {\text{ oraz }}\quad a\backsim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H,}

przy czym klasy równoważności [ a ] ∼ {\displaystyle [a]_{\sim }} mają postać warstw lewostronych a H , {\displaystyle aH,} a klasy równoważności [ a ] ∽ {\displaystyle [a]_{\backsim }} są warstwami prawostronnymi H a {\displaystyle Ha} [s]. Wynika stąd, że zbiory ilorazowe G / ∼ {\displaystyle G/\sim } oraz G / ∽ {\displaystyle G/\backsim } odpowiadają odpowiednio podziałom G / H {\displaystyle G/H} oraz G ∖ H ; {\displaystyle G\backslash H;} własności warstw można więc wywnioskować z własności klas równoważności: w szczególności dwie warstwy lewostronne (prawostronne) względem H {\displaystyle H} są rozłączne, każdy element grupy G {\displaystyle G} należy do jednej i tylko jednej z nich, a ponadto żadna z nich nie jest pusta (zawiera przynajmniej jeden element)[t].

Sztywność struktury grupy gwarantuje więcej: warstwy lewostronne są równoliczne, podobnie ma się rzecz z warstwami prawostronnymi[u]. Podgrupa H {\displaystyle H} jest równocześnie warstwą lewo- i prawostronną – dlatego równoliczne są wszystkie warstwy ( a H {\displaystyle aH} oraz H a {\displaystyle Ha} dla dowolnego a ∈ G {\displaystyle a\in G} ) grupy G {\displaystyle G} względem H ; {\displaystyle H;} w szczególności jeżeli rząd | H | {\displaystyle |H|} jest skończony, to | a H | = | H a | = | H | {\displaystyle |aH|=|Ha|=|H|} dla każdego a ∈ G {\displaystyle a\in G} [v]. Sytuacja ta jest warta podkreślenia, gdyż klasy abstrakcji dowolnych relacji równoważności określonych na zbiorach, np. elementów grupy, nie muszą być równoliczne (zob. rysunek w sekcji Motywacja). Równoliczne są również same podziały G / H {\displaystyle G/H} oraz G ∖ H {\displaystyle G\backslash H} złożone odpowiednio z warstw lewo- i prawostronnych[w], a ich wspólna moc [ G : H ] {\displaystyle [G:H]} nazywana jest indeksem H {\displaystyle H} w G . {\displaystyle G.} Wprost stąd wynika, że na skończony rząd G {\displaystyle G} składa się rząd pojedynczej warstwy grupy G {\displaystyle G} względem podgrupy H {\displaystyle H} pomnożony przez ich liczbę, tzn. zachodzi wzór[x]

| G | = | H | ⋅ [ G : H ] {\displaystyle |G|=|H|\cdot [G:H]}

(przy oznaczeniach z sekcji Motywacja jest | G | = | ker ⁡ φ | ⋅ | i m   φ | {\displaystyle |G|=|\ker \varphi |\cdot |\mathrm {im} \ \varphi |} [y]). Powyższy wynik, wyrażony zwykle w postaci: rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, nazywa się zwykle twierdzeniem Lagrange’a, choć niekiedy nazwę tę nosi nieprecyzyjnie bezpośredni z niego wniosek: rząd elementu jest dzielnikiem rzędu grupy[z] (zob. rząd elementu i grupy).

Normalność

 Osobne artykuły: podgrupa normalna i grupa ilorazowa.

Każda warstwa prawostronna względem podgrupy H {\displaystyle H} może być postrzegana jako warstwa lewostronna względem podgrupy H a = a − 1 H a {\displaystyle H^{a}=a^{-1}Ha} do niej sprzężonej, gdyż a H a = a a − 1 H a = H a {\displaystyle aH^{a}=aa^{-1}Ha=Ha} dla dowolnego a ∈ G . {\displaystyle a\in G.} Z tego powodu mylące może być mówienie o warstwach względem danej podgrupy bez wskazywania, czy chodzi o warstwy lewo-, czy prawostronne. Nie mniej uwaga ta podsuwa pomysł na to jak zapewnić, by relacje ∼ {\displaystyle \sim } oraz ∽ {\displaystyle \backsim } dawały jeden zbiór ilorazowy G / ∼= G / ∽ , {\displaystyle G/\sim =G/\backsim ,} tzn. podgrupa H {\displaystyle H} wyznaczała jeden podział G / H = G ∖ H {\displaystyle G/H=G\backslash H} w grupie G . {\displaystyle G.} Mianowicie [ a ] ∼ = [ a ] ∽ , {\displaystyle [a]_{\sim }=[a]_{\backsim },} czyli a H = H a {\displaystyle aH=Ha} dla dowolnego a ∈ G ; {\displaystyle a\in G;} podgrupy H {\displaystyle H} grupy G {\displaystyle G} spełniające podany warunek nazywa się normalnymi; innymi słowy podgrupy normalne to podgrupy, które (jako całość) są przemienne ze wszystkimi elementami grupy G {\displaystyle G} [aa][ab].

Jeżeli podgrupa H {\displaystyle H} nie jest normalna, to mimo ich wspólnego indeksu podziały G {\displaystyle G} na warstwy lewo- i prawostronne względem H {\displaystyle H} są istotnie różne. Mimo to mogą istnieć pojedyncze warstwy a H , H a {\displaystyle aH,Ha} dla pewnego a ∈ G , {\displaystyle a\in G,} które są równe, tzn. a H = H a ; {\displaystyle aH=Ha;} sytuacja ta zachodzi np. wtedy, gdy element a {\displaystyle a} jest przemienny z dowolnym elementem grupy, tj. należy do centrum G {\displaystyle G} (w szczególności jest tak dla a = e {\displaystyle a=e} ).

Normalność podgrupy H {\displaystyle H} jest równoważna temu, by mogła być ona jądrem homomorfizmu grupy G , {\displaystyle G,} co z kolei umożliwia określenie na zbiorze warstw G / H {\displaystyle G/H} działania ich mnożenia ⋅ {\displaystyle \cdot } danego wzorem

( a H ) ⋅ ( b H ) = ( a b ) H . {\displaystyle (aH)\cdot (bH)=(ab)H.}

Zbiór G / H {\displaystyle G/H} tworzy wraz z tym działaniem grupę nazywaną grupą ilorazową. W grupach przemiennych, w których korzysta się zwykle z notacji addytywnej, warstwy lewo- i prawostronne grupy A {\displaystyle A} względem podgrupy B {\displaystyle B} wyznaczane przez element a {\displaystyle a} są zawsze równe, a + B = B + a {\displaystyle a+B=B+a} (wprost z ich definicji), czyli każda podgrupa jest normalna; stąd grupa ilorazowa A / B {\displaystyle A/B} istnieje dla dowolnej podgrupy B {\displaystyle B} grupy przemiennej A {\displaystyle A} [j].

Przykłady

Dla dowolnej grupy G {\displaystyle G} warstwami (lewo- i prawostronnymi) względem podgrupy trywialnej E = { e } {\displaystyle E=\{e\}} są wszystkie jej podzbiory jednoelementowe zbioru G ; {\displaystyle G;} z drugiej strony jedyną warstwą (tak lewo- jak i prawostronną) względem jej podgrupy niewłaściwej (tzn. G {\displaystyle G} ) jest cała grupa G . {\displaystyle G.} W pierwszym przypadku odpowiednia relacja równoważności utożsamia każdy element grupy sam ze sobą, w drugim tożsame są wszystkie elementy grupy[ac]. Dla obu podgrup podziały wyznaczone są jednoznacznie, co oznacza, że tak

  • podgrupa trywialna, jak i niewłaściwa są normalne w dowolnej grupie.

Niech G = Z {\displaystyle G=\mathbb {Z} } będzie grupą liczb całkowitych z dodawaniem, a H = 2 Z {\displaystyle H=2\mathbb {Z} } będzie zbiorem liczb parzystych. Ponieważ dla dowolnych elementów a , b ∈ H {\displaystyle a,b\in H} zachodzi a − b ∈ H {\displaystyle a-b\in H} [ad], to zbiór H {\displaystyle H} spełnia kryterium bycia podgrupą w G . {\displaystyle G.} Istnieją dwie warstwy lewostronne G {\displaystyle G} względem H , {\displaystyle H,} które tworzą odpowiednio zbiory parzystych i nieparzystych liczb całkowitych:

0 + 2 Z = { 2 k : k ∈ Z }  oraz  1 + 2 Z = { 1 + 2 k : k ∈ Z } ; {\displaystyle 0+2\mathbb {Z} =\{2k\colon k\in \mathbb {Z} \}\quad {\text{ oraz }}\quad 1+2\mathbb {Z} =\{1+2k\colon k\in \mathbb {Z} \};}

istnieją również dokładnie dwie warstwy prawostronne postaci

2 Z + 0 = { 2 k : k ∈ Z }  oraz  2 Z + 1 = { 2 k + 1 : k ∈ Z } , {\displaystyle 2\mathbb {Z} +0=\{2k\colon k\in \mathbb {Z} \}\quad {\text{ oraz }}\quad 2\mathbb {Z} +1=\{2k+1\colon k\in \mathbb {Z} \},}

które są równe odpowiadającym im warstwom lewostronnym. Ta sytuacja jest przypadkiem szczególnym następnych dwóch ogólnych reguł mówiących, kiedy warstwy lewostronne są równe prawostronnym (tj. dwóch niezależnych warunków wystarczających na normalność podgrupy):

  • istnieje jeden podział na warstwy względem danej podgrupy, o ile tylko działanie w grupie jest przemienne (grupa jest abelowa)[ae];
  • wszystkie podziały dwuelementowe na warstwy względem danej podgrupy są równe (podgrupa jest indeksu 2)[af].

Wspomniane podziały wyznaczane są przez (tożsame) relacje równoważności

a ∼ b ⇔ − a + b ∈ 2 Z  oraz  a ∽ b ⇔ a − b ∈ 2 Z , {\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow -a+b\in 2\mathbb {Z} \quad {\text{ oraz }}\quad a\backsim b\Leftrightarrow a-b\in 2\mathbb {Z} ,}

które wyrażają tę samą własność: dwa elementy uważane są za równoważne, jeżeli ich różnica jest liczbą parzystą. Analogicznie rozpatrywać można warstwy n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n ; {\displaystyle n;} prowadzi to wprost do tzw. arytmetyki modulo n {\displaystyle n} (są to grupy ilorazowe przemiennej grupy Z {\displaystyle \mathbb {Z} } względem ich podgrup n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } dla n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ).

Grupa permutacji S 3 {\displaystyle S_{3}} ma tę samą strukturę, co grupa symetrii (tj. grupa izometrii) trójkąta równobocznego (zob. grupa euklidesowa): τ i {\displaystyle \tau _{i}} ( i = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle (i=1,2,3)} odpowiadają symetriom osiowym (o osiach przechodzących przez dany wierzchołek i środek przeciwległego do niego boku), zaś σ L {\displaystyle \sigma _{\mathrm {L} }} i σ R {\displaystyle \sigma _{\mathrm {R} }} odpowiadają obrotom (o 120°, −120°) wokół środka tego trójkąta; ι {\displaystyle \iota } odpowiada przekształceniu tożsamościowemu. (Por. grupa diedralna, działanie grupy na zbiorze).

Niech dany będzie trójelementowy zbiór; jego elementy można uporządkować w różnorodny sposób, uzyskując 6 {\displaystyle 6} różnych ciągów. Zmiany uporządkowania możliwe są dzięki tzw. permutacjom, czyli przekształceniom ustalającym porządek elementów danego zbioru; we wspomnianym przypadku wszystkie permutacje zbioru trójelementowego tworzą grupę permutacji S 3 {\displaystyle S_{3}} rzędu 6 {\displaystyle 6} [ag] (jest to najmniejsza, w sensie liczby elementów, grupa nieprzemienna). Grupa ta ma cztery nietrywialne podgrupy właściwe[ah] (wszystkie cykliczne): trzy rzędu 2 {\displaystyle 2} i jedną rzędu 3 ; {\displaystyle 3;} ostatnia z nich jest normalna, tj. wyznacza podział w S 3 {\displaystyle S_{3}} jednoznacznie (gdyż jest on dwuelementowy), każda z trzech pozostałych – nie jest normalna, czyli rozpatrywanie warstw lewo- i prawostonnych wprowadza dwa istotnie różne podziały. Niech przekształcenie ι : ( 1 , 2 , 3 ) ↦ ( 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \iota \colon (1,2,3)\mapsto (1,2,3)} oznacza zachowanie uporządkowania (element neutralny), a τ 3 : ( 1 , 2 , 3 ) ↦ ( 2 , 1 , 3 ) {\displaystyle \tau _{3}\colon (1,2,3)\mapsto (2,1,3)} oznacza zmianę uporządkowania polegające na przestawieniu dwóch pierwszych elementów (zachowaniu wyłącznie trzeciego elementu) – wspomniane dwie permutacje ι , τ 3 {\displaystyle \iota ,\tau _{3}} tworzą podgrupę H {\displaystyle H} grupy G = S 3 . {\displaystyle G=S_{3}.} Warstwami lewo- i prawostronnymi G {\displaystyle G} względem H {\displaystyle H} są odpowiednio

{ ι , τ 3 } , { σ L , τ 2 } , { σ R , τ 1 }  oraz  { ι , τ 3 } , { σ R , τ 2 } , { σ L , τ 1 } , {\displaystyle \{\iota ,\tau _{3}\},\{\sigma _{\mathrm {L} },\tau _{2}\},\{\sigma _{\mathrm {R} },\tau _{1}\}\quad {\text{ oraz }}\quad \{\iota ,\tau _{3}\},\{\sigma _{\mathrm {R} },\tau _{2}\},\{\sigma _{\mathrm {L} },\tau _{1}\},}

które są istotnie różne (jedynym wspólnym elementem tych podziałów jest podgrupa H {\displaystyle H} ), gdzie τ i {\displaystyle \tau _{i}} ( i = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle (i=1,2,3)} to przestawienia dwóch elementów zachowujące i {\displaystyle i} -ty, zaś σ L , σ R {\displaystyle \sigma _{\mathrm {L} },\sigma _{\mathrm {R} }} to cykliczne przestawienia wszystkich elementów odpowiednio „w lewo” i „w prawo”, tzn. σ L : ( 1 , 2 , 3 ) ↦ ( 3 , 1 , 2 ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {L} }\colon (1,2,3)\mapsto (3,1,2)} oraz σ R : ( 1 , 2 , 3 ) ↦ ( 2 , 3 , 1 ) . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {R} }\colon (1,2,3)\mapsto (2,3,1).}

Warstwy lewostronne S 3 {\displaystyle S_{3}} względem { ι , τ 3 } . {\displaystyle \{\iota ,\tau _{3}\}.}
∘ ι τ3 σL τ2 σR τ1
ι ι τ3 σL τ2 σR τ1
τ3 τ3 ι τ1 σR τ2 σL
σL σL τ2 σR τ1 ι τ3
τ2 τ2 σL τ3 ι τ1 σR
σR σR τ1 ι τ3 σL τ2
τ1 τ1 σR τ2 σL τ3 ι
Warstwy prawostronne S 3 {\displaystyle S_{3}} względem { ι , τ 3 } . {\displaystyle \{\iota ,\tau _{3}\}.}
∘ ι τ3 σL τ1 σR τ2
ι ι τ3 σL τ1 σR τ2
τ3 τ3 ι τ1 σL τ2 σR
σL σL τ2 σR τ3 ι τ1
τ1 τ1 σR τ2 ι τ3 σL
σR σR τ1 ι τ2 σL τ3
τ2 τ2 σL τ3 σR τ1 ι

Uogólnienia

Niech G {\displaystyle G} będzie grupą, a H {\displaystyle H} i K {\displaystyle K} jej dowolnymi podgrupami. Podzbiory grupy G {\displaystyle G} postaci

H a K = { h a k : h ∈ H , k ∈ K } {\displaystyle HaK=\{hak\colon h\in H,k\in K\}}

dla a ∈ G {\displaystyle a\in G} nazywa się warstwami podwójnymi grupy G {\displaystyle G} względem H {\displaystyle H} oraz K {\displaystyle K} wyznaczonymi przez element a . {\displaystyle a.}

Zbiór H ∖ G / K = { H a K : a ∈ G } {\displaystyle H\backslash G/K=\{HaK\colon a\in G\}} wszystkich warstw podwójnych grupy G {\displaystyle G} względem H {\displaystyle H} oraz K {\displaystyle K} stanowi rozbicie grupy G {\displaystyle G} na rozłączne podzbiory[ai], jak miało to miejsce w przypadku zwykłych warstw, choć w moc tego zbioru nie musi dzielić rzędu grupy, a same warstwy mogą mieć różne moce, które również nie muszą dzielić rzędu grupy (por. przykłady niżej). Istnieje jednak następujący odpowiednik „wzorów indeksowych” | G | = | H | | G / H | {\displaystyle |G|=|H||G/H|} oraz | G | = | H | | H ∖ G | {\displaystyle |G|=|H||H\backslash G|} [aj]:

Twierdzenie Frobeniusa
Niech G {\displaystyle G} będzie grupą skończoną, a H , K {\displaystyle H,K} jej podgrupami. Wówczas
| { ( h , g , k ) ∈ H × G × K : h g k = g } | = | H | | K | | H ∖ G / K | . {\displaystyle {\Big |}{\big \{}(h,g,k)\in H\times G\times K\colon hgk=g{\big \}}{\Big |}=|H|\,|K|\,{\big |}H\backslash G/K{\big |}.}
Przykłady

Zwykłe warstwy są przypadkiem szczególnym warstw podwójnych, w których jedna z podgrup jest trywialna: H a E = H a {\displaystyle HaE=Ha} oraz E a K = a K , {\displaystyle EaK=aK,} gdzie E = { e } {\displaystyle E=\{e\}} zawiera wyłącznie element neutralny e {\displaystyle e} grupy G . {\displaystyle G.} Podobnie H ∖ G / K {\displaystyle H\backslash G/K} staje się zbiorem warstw lewo- bądź prawostronnych. Jak odwracanie przekształcało G / H {\displaystyle G/H} na H ∖ G {\displaystyle H\backslash G} (bijekcja ustalająca równoliczność warstw lewo- i prawostronnych), tak przekształca ono H ∖ G / K {\displaystyle H\backslash G/K} na K ∖ G / H . {\displaystyle K\backslash G/H.}

Jeżeli G {\displaystyle G} jest przemienna, to iloczyn (kompleksowy) zbiorów H K {\displaystyle HK} tworzy podgrupę w G , {\displaystyle G,} a warstwy podwójne względem H {\displaystyle H} oraz K {\displaystyle K} są po prostu zwykłymi warstwami względem podgrupy H K . {\displaystyle HK.}

Niech dana będzie grupa G = S 3 {\displaystyle G=S_{3}} z oznaczeniami z sekcji Przykłady. Jeżeli H = { ι , τ 3 } , {\displaystyle H=\{\iota ,\tau _{3}\},} zaś K = { ι , τ 2 } , {\displaystyle K=\{\iota ,\tau _{2}\},} to warstwą podwójną względem tych podgrup wyznaczoną przez ι {\displaystyle \iota } jest

H ι K = H K = { h k : h ∈ H , k ∈ K } = { ι , τ 2 , τ 3 , σ L } , {\displaystyle H\iota K=HK=\{hk\colon h\in H,k\in K\}=\{\iota ,\tau _{2},\tau _{3},\sigma _{\mathrm {L} }\},}

z kolei τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} wyznacza warstwę

H τ 1 K = { ι τ 1 ι ,   ι τ 1 τ 2 ,   τ 3 τ 1 ι ,   τ 3 τ 1 τ 2 } = { τ 1 , σ R } . {\displaystyle H\tau _{1}K=\{\iota \tau _{1}\iota ,\ \iota \tau _{1}\tau _{2},\ \tau _{3}\tau _{1}\iota ,\ \tau _{3}\tau _{1}\tau _{2}\}=\{\tau _{1},\sigma _{\mathrm {R} }\}.}

Są to wszystkie warstwy wyznaczane przez te dwie podgrupy. Jeśli H = K = { ι , τ 3 } , {\displaystyle H=K=\{\iota ,\tau _{3}\},} to istnieją tylko dwie warstwy podwójne: H ι H = H H = H = { ι , τ 3 } {\displaystyle H\iota H=HH=H=\{\iota ,\tau _{3}\}} oraz H τ 2 H = { τ 2 , τ 1 , σ L , σ R } . {\displaystyle H\tau _{2}H=\{\tau _{2},\tau _{1},\sigma _{\mathrm {L} },\sigma _{\mathrm {R} }\}.}

Niech G = D 4 = ⟨ r , s ⟩ {\displaystyle G=D_{4}=\langle \mathrm {r} ,\mathrm {s} \rangle } będzie grupą diedralną oraz H = K = { i d , s } , {\displaystyle H=K=\{\mathrm {id} ,\mathrm {s} \},} gdzie r , s {\displaystyle \mathrm {r} ,\mathrm {s} } oznaczają odpowiednio elementy rzędu 4 i 2 (obrót i symetrię). Różnymi warstwami dwustronnymi względem H {\displaystyle H} (oraz H {\displaystyle H} ) są:

H H = H = { i d , s } , H r H = { r , r s , r 3 s , r 3 } , H r 2 H = { r 2 , r 2 s } . {\displaystyle HH=H=\left\{\mathrm {id} ,\mathrm {s} \right\},\quad H\mathrm {r} H=\left\{\mathrm {r} ,\mathrm {rs} ,\mathrm {r} ^{3}\mathrm {s} ,\mathrm {r} ^{3}\right\},\quad H\mathrm {r} ^{2}H=\left\{\mathrm {r} ^{2},\mathrm {r} ^{2}\mathrm {s} \right\}.}

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ Intuicyjnie warstwa to egzemplarz danej podgrupy „przesunięty” w grupie: razem „wypełniają” całą grupę.
  2. ↑ Poglądowo indeks to „rozmiar” grupy względem jej ustalonej podgrupy: liczba egzemplarzy danej podgrupy, które „wypełnią” grupę.
  3. ↑ Z własności homomorfizmów dla dowolnych a , b ∈ G : {\displaystyle a,b\in G{:}} skoro φ ( a ) = φ ( b ) , {\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b),} to φ ( a ) φ ( b ) − 1 = e ′ , {\displaystyle \varphi (a)\varphi (b)^{-1}=e',} czyli φ ( a b − 1 ) = e ′ , {\displaystyle \varphi \left(ab^{-1}\right)=e',} tj. φ ( a b − 1 ) = φ ( e ) . {\displaystyle \varphi \left(ab^{-1}\right)=\varphi (e).} Oznacza to, że wraz z dowolnymi a , b ∈ ker ⁡ φ {\displaystyle a,b\in \ker \varphi } również a b − 1 ∈ ker ⁡ φ {\displaystyle ab^{-1}\in \ker \varphi } (oraz e ∈ ker ⁡ φ {\displaystyle e\in \ker \varphi } ) – zob. charakteryzacja podgrupy.
  4. ↑ Otóż niech a ∼ b , {\displaystyle a\sim b,} tzn. φ ( a ) = φ ( b ) ∈ G ′ , {\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)\in G',} wówczas e ′ = φ ( a ) − 1 φ ( b ) = φ ( a − 1 b ) , {\displaystyle e'=\varphi (a)^{-1}\varphi (b)=\varphi \left(a^{-1}b\right),} czyli a − 1 b ∈ H , {\displaystyle a^{-1}b\in H,} tj. a − 1 b = h ∈ H , {\displaystyle a^{-1}b=h\in H,} skąd b = a h ∈ a H , {\displaystyle b=ah\in aH,} co oznacza, że element równoważny do a {\displaystyle a} należy do zbioru a H . {\displaystyle aH.} Odwrotnie, dowolny element b {\displaystyle b} zbioru a H {\displaystyle aH} jest równoważny z a , {\displaystyle a,} ponieważ wtedy φ ( b ) = φ ( a h ) = φ ( a ) φ ( h ) = φ ( a ) , {\displaystyle \varphi (b)=\varphi (ah)=\varphi (a)\varphi (h)=\varphi (a),} gdyż h ∈ H {\displaystyle h\in H} oznacza, że φ ( h ) = e ′ . {\displaystyle \varphi (h)=e'.}
  5. ↑ Przechodząc w poprzednim dowodzie od φ ( a ) = φ ( b ) ∈ G ′ {\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)\in G'} do φ ( a ) φ ( b ) − 1 = e ′ , {\displaystyle \varphi (a)\varphi (b)^{-1}=e',} uzyskuje się, że klasy równoważności elementu a {\displaystyle a} można również zapisać w postaci H a = { h a : h ∈ H } {\displaystyle Ha=\{ha\colon h\in H\}} dla a ∈ G . {\displaystyle a\in G.} Sytuacja ta jest typowa dla podgrup H {\displaystyle H} będących jądrami homomorfizmów; dla podgrup nie mogącymi być jądrami homomorfizmów istnieją a ∈ G {\displaystyle a\in G} dla których a H ≠ H a , {\displaystyle aH\neq Ha,} por. dalsza część artykułu.
  6. ↑ A także ( ker ⁡ φ ) a , {\displaystyle (\ker \varphi )a,} co wskazano wyżej.
  7. ↑ Nieco uogólniona, obserwacja ta znana jest jako pierwsze twierdzenie o izomorfizmie.
  8. ↑ Tożsamość pojęć „podział ↔ relacja równoważności” jest prawdziwa na gruncie teorii mnogości; jednakże równoważność „relacja równoważności ↔ jądro homomorfizmu” oprócz teorii grup zachodzi tylko w teorii pierścieni; dla części struktur algebraicznych prawdziwa jest zależność „relacja równoważności → jądro homomorfizmu” (np. dla półgrup z jedynką), w ogólności pojęcia te nie muszą wykazywać żadnego związku „relacja równoważności – jądro homomorfizmu” (czyniąc pojęcie jądra nieużytecznym).
  9. ↑ A także określoną na nim grupę ilorazową.
  10. ↑ a b W przypadku grup w notacji addytywnej (zwykle przemiennych) właściwe jest mówienie o „grupach różnicowych” wraz z oznaczeniem G − H {\displaystyle G-H} (por. Scott, 2012); w polskiej tradycji matematycznej oznaczenia te są w gruncie rzeczy niespotykane.
  11. ↑ Wprost z definicji warstwy lewostronnej e H = { e h ∈ G : h ∈ H } = { h ∈ G : h ∈ H } = H {\displaystyle eH=\{eh\in G\colon h\in H\}=\{h\in G\colon h\in H\}=H} i podobnie dla warstwy prawostronnej.
  12. ↑ Jeśli a H = H , {\displaystyle aH=H,} to a = a e ∈ { a h ∈ G : h ∈ H } = a H = H , {\displaystyle a=ae\in \{ah\in G\colon h\in H\}=aH=H,} czyli a ∈ H . {\displaystyle a\in H.} Odwrotnie: jeżeli a ∈ H , {\displaystyle a\in H,} to również a − 1 ∈ H , {\displaystyle a^{-1}\in H,} zatem a h ∈ H {\displaystyle ah\in H} oraz a − 1 h ∈ H {\displaystyle a^{-1}h\in H} dla wszystkich h ∈ H {\displaystyle h\in H} (gdyż H {\displaystyle H} jako podgrupa jest zamknięta ze względu na mnożenie), czyli h = a ( a − 1 h ) ∈ a H {\displaystyle h=a\left(a^{-1}h\right)\in aH} dla dowolnego h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} zatem a H ⊆ H {\displaystyle aH\subseteq H} oraz H ⊆ a H , {\displaystyle H\subseteq aH,} a więc a H = H . {\displaystyle aH=H.} Podobnie dla warstw prawostronnych.
  13. ↑ Jeśli a H = b H , {\displaystyle aH=bH,} to a ∈ a H = b H , {\displaystyle a\in aH=bH,} czyli a = b h {\displaystyle a=bh} dla pewnego h ∈ H ; {\displaystyle h\in H;} odwrotnie: jeśli a = b h , {\displaystyle a=bh,} to b = a h − 1 , {\displaystyle b=ah^{-1},} zatem a h 1 = b h h 1 ∈ b H {\displaystyle ah_{1}=bhh_{1}\in bH} oraz b h 1 = a h − 1 h 1 ∈ a H {\displaystyle bh_{1}=ah^{-1}h_{1}\in aH} dla wszystkich h 1 ∈ H {\displaystyle h_{1}\in H} (z zamkniętości H {\displaystyle H} na mnożenie), skąd a H ⊆ b H {\displaystyle aH\subseteq bH} oraz b H ⊆ a H , {\displaystyle bH\subseteq aH,} czyli a H = b H . {\displaystyle aH=bH.}
  14. ↑ Z pierwszego warunku równości a H = b H {\displaystyle aH=bH} wtedy i tylko wtedy, gdy a = h b {\displaystyle a=hb} dla pewnego h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} które można wtedy zapisać jako h = a − 1 b ∈ H . {\displaystyle h=a^{-1}b\in H.}
  15. ↑ Z poprzedniego warunku a H = b H {\displaystyle aH=bH} wtedy i tylko wtedy, gdy a − 1 b ∈ H , {\displaystyle a^{-1}b\in H,} co jest równoważne a − 1 b H = H {\displaystyle a^{-1}bH=H} na mocy poprzedniego stwierdzenia.
  16. ↑ Analogicznie H a = H b {\displaystyle Ha=Hb} zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = h b {\displaystyle a=hb} dla pewnego h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} co można zastąpić warunkiem a ∈ H b , {\displaystyle a\in Hb,} który jest równoważny a b − 1 ∈ H , {\displaystyle ab^{-1}\in H,} bądź H a b − 1 = H . {\displaystyle Hab^{-1}=H.}
  17. ↑ Skoro a H ⊆ G {\displaystyle aH\subseteq G} dla każdego a ∈ G , {\displaystyle a\in G,} to ⋃ a ∈ G a H ⊆ G ; {\displaystyle \bigcup _{a\in G}aH\subseteq G;} ponadto dla dowolnego g ∈ G {\displaystyle g\in G} jest g ∈ g H , {\displaystyle g\in gH,} zatem g ∈ ⋃ a ∈ G a H , {\displaystyle g\in \bigcup _{a\in G}aH,} a więc G ⊆ ⋃ a ∈ G a H ; {\displaystyle G\subseteq \bigcup _{a\in G}aH;} stąd G = ⋃ a ∈ G a H . {\displaystyle G=\bigcup _{a\in G}aH.} Warstwy lewostronne względem H {\displaystyle H} są parami rozłączne, gdyż w przeciwnym przypadku dla pewnych a H , b H {\displaystyle aH,bH} byłoby a H ∩ b H ≠ ∅ , {\displaystyle aH\cap bH\neq \varnothing ,} czyli istniałby element c ∈ a H ∩ b H {\displaystyle c\in aH\cap bH} należący do obu tych warstw: c ∈ a H {\displaystyle c\in aH} oraz c ∈ b H , {\displaystyle c\in bH,} co z charakteryzacji równości warstw oznaczałoby, iż c H = a H {\displaystyle cH=aH} oraz c H = b H , {\displaystyle cH=bH,} czyli a H = b H . {\displaystyle aH=bH.} Stąd nierozłączne warstwy są równe.
  18. ↑ Tak określona relacja ∼ {\displaystyle \sim } (jak i ∽ {\displaystyle \backsim } ) istotnie jest równoważnością. Zwrotność: dla dowolnego a {\displaystyle a} zachodzi a − 1 a = e ∈ H , {\displaystyle a^{-1}a=e\in H,} skąd a ∼ a . {\displaystyle a\sim a.} Symetryczność: jeżeli a ∼ b , {\displaystyle a\sim b,} tj. a − 1 b ∈ H , {\displaystyle a^{-1}b\in H,} skąd ( a − 1 b ) − 1 ∈ H , {\displaystyle (a^{-1}b)^{-1}\in H,} czyli b − 1 a ∈ H , {\displaystyle b^{-1}a\in H,} tzn. b ∼ a . {\displaystyle b\sim a.} Przechodniość: jeżeli a ∼ b {\displaystyle a\sim b} oraz b ∼ c , {\displaystyle b\sim c,} tj. a − 1 b ∈ H {\displaystyle a^{-1}b\in H} oraz b − 1 c ∈ H , {\displaystyle b^{-1}c\in H,} to również ( a − 1 b ) ( b − 1 c ) ∈ H , {\displaystyle \left(a^{-1}b\right)\left(b^{-1}c\right)\in H,} skąd a − 1 c ∈ H , {\displaystyle a^{-1}c\in H,} tzn. a ∼ c . {\displaystyle a\sim c.}
    W istocie zwrotność, symetryczność i przechodniość wynikają z faktu, iż H {\displaystyle H} jest podgrupą: kolejno z e ∈ H {\displaystyle e\in H} oraz zamkniętości H {\displaystyle H} ze względu na branie odwrotności i mnożenie.
  19. ↑ Wprost z określenia relacji równoważności ∼ {\displaystyle \sim } prawdziwe są równoważności a ∼ b ⇔ a − 1 b = h ∈ H ⇔ b = a h {\displaystyle a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b=h\in H\Leftrightarrow b=ah} dla h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} z obserwacji tej i definicji warstwy lewostronnej wynika wtedy, że [ a ] ∼ = { b ∈ G : a ∼ b } = { b ∈ G : b = a h , h ∈ H } = { a h ∈ G : h ∈ H } = a H . {\displaystyle [a]_{\sim }=\{b\in G\colon a\sim b\}=\{b\in G\colon b=ah,h\in H\}=\{ah\in G\colon h\in H\}=aH.} Dowód dla warstw prawostronnych jest analogiczny.
  20. ↑ Dla ustalonych elementu a {\displaystyle a} oraz (niepustej; zob. grupa trywialna) podgrupy H {\displaystyle H} warstwa a H = { a h : h ∈ H } {\displaystyle aH=\{ah\colon h\in H\}} powstaje w wyniku dobrze określonego (wprost z definicji grupy) mnożenia a {\displaystyle a} oraz dowolnego elementu h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} które dla dowolnych dwóch elementów grupy G {\displaystyle G} daje element tej grupy, skąd a H {\displaystyle aH} musi zawierać co najmniej jeden element. Analogicznie dla warstw prawostronnych.
  21. ↑ Wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość ustalają mnożenia lewo- i prawostronne elementów H {\displaystyle H} przez elementy G , {\displaystyle G,} mianowicie funkcje H → a H {\displaystyle H\to aH} dana wzorem h ↦ a h {\displaystyle h\mapsto ah} oraz H → H a {\displaystyle H\to Ha} określona wzorem h ↦ h a {\displaystyle h\mapsto ha} dla dowolnego a ∈ G . {\displaystyle a\in G.} Iniektywność: jeżeli a h = a h ′ ∈ a H , {\displaystyle ah=ah'\in aH,} bądź h a = h ′ a ∈ H a , {\displaystyle ha=h'a\in Ha,} to h = h ′ ∈ H ; {\displaystyle h=h'\in H;} suriektywność: zbiory a H {\displaystyle aH} oraz H a {\displaystyle Ha} składają się ze wszystkich elementów postaci odpowiednio a h {\displaystyle ah} lub h a {\displaystyle ha} (są to w istocie odwzorowania ilorazowe).
  22. ↑ Wzór ten jest prawdziwy, jeśli przyjąć, że gdy warstwa a H {\displaystyle aH} nie jest zbiorem skończonym, to | a H | = ∞ . {\displaystyle |aH|=\infty .}
  23. ↑ Odpowiedniość a H ↦ H a {\displaystyle aH\mapsto Ha} jest źle określona (zob. podgrupę G = S 3 {\displaystyle G=S_{3}} w Przykładach, dla której żadne z warstw lewo- i prawostronnych, poza H , {\displaystyle H,} nie są równe); odpowiednią bijekcją jest ψ : a H ↦ H a − 1 . {\displaystyle \psi \colon aH\mapsto Ha^{-1}.} Odwzorowanie to jest dobrze określone, ponieważ a H = b H {\displaystyle aH=bH} pociąga ψ ( a H ) = ψ ( b H ) , {\displaystyle \psi (aH)=\psi (bH),} istotnie: a H = b H {\displaystyle aH=bH} oznacza a − 1 b ∈ H , {\displaystyle a^{-1}b\in H,} skąd też ( a − 1 b ) − 1 = b − 1 a ∈ H , {\displaystyle \left(a^{-1}b\right)^{-1}=b^{-1}a\in H,} a więc H a − 1 = H b − 1 , {\displaystyle Ha^{-1}=Hb^{-1},} czyli ψ ( a H ) = ψ ( b H ) . {\displaystyle \psi (aH)=\psi (bH).} Ponadto jest ono różnowartościowe (wystarczy odwrócić wynikanie w poprzednim rozumowaniu) oraz „na” ze względu na to, że dowolna warstwa prawostronna H b {\displaystyle Hb} jest obrazem warstwy lewostronnej b − 1 H {\displaystyle b^{-1}H} w przekształceniu ψ , {\displaystyle \psi ,} mianowicie ψ ( b − 1 H ) = H ( b − 1 ) − 1 = H b . {\displaystyle \psi (b^{-1}H)=H\left(b^{-1}\right)^{-1}=Hb.}
  24. ↑ Jeżeli | G | {\displaystyle |G|} lub | H | {\displaystyle |H|} nie są skończone, to można przyjąć, iż | G | = ∞ {\displaystyle |G|=\infty } bądź | H | = ∞ ; {\displaystyle |H|=\infty ;} wtedy wzór mówi o tym, że nieskończoność rzędu H {\displaystyle H} pociąga i jest pociągana przez nieskończoność rzędu G . {\displaystyle G.}
  25. ↑ Por. z twierdzeniem o rzędzie dim ⁡ V = dim ⁡ ker ⁡ A + dim ⁡ i m   A {\displaystyle \dim V=\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\ A} } dla przekształcenia liniowego A : V → W {\displaystyle \mathrm {A} \colon V\to W} między przestrzeniami liniowymi.
  26. ↑ Wystarczy rozważyć podgrupę (cykliczną) H = ⟨ g ⟩ = { g , g 2 , … , g n } {\displaystyle H=\langle g\rangle =\{g,g^{2},\dots ,g^{n}\}} generowaną przez element g ∈ G {\displaystyle g\in G} rzędu n . {\displaystyle n.}
  27. ↑ Warunek a H = H a {\displaystyle aH=Ha} dla dowolnego a ∈ G {\displaystyle a\in G} nie oznacza a h = h a {\displaystyle ah=ha} dla a ∈ G {\displaystyle a\in G} oraz h ∈ H , {\displaystyle h\in H,} lecz że dla dowolnego a ∈ G {\displaystyle a\in G} istnieją h 1 , h 2 ∈ H , {\displaystyle h_{1},h_{2}\in H,} dla których a h 1 = h 2 a . {\displaystyle ah_{1}=h_{2}a.}
  28. ↑ Podgrupy normalne nazywane były też niegdyś samosprzężonymi, gdyż spełniają one H a = H {\displaystyle H^{a}=H} albo niezmienniczymi (ze względu na sprzężenia); dziś określeń tych, podobnie jak „dzielnik normalny” (nazwa związana z konstrukcją grupy ilorazowej), nie stosuje się jako mylących.
  29. ↑ Homomorfizm φ {\displaystyle \varphi } z sekcji Motywacja jest odpowiednio przekształceniem stałym w element neutralny (przez co ker ⁡ φ = G {\displaystyle \ker \varphi =G} ) oraz identycznością (dzięki czemu ker ⁡ φ = E {\displaystyle \ker \varphi =E} ).
  30. ↑ Elementy a , b ∈ 2 Z {\displaystyle a,b\in 2\mathbb {Z} } są postaci a = 2 m {\displaystyle a=2m} oraz b = 2 n {\displaystyle b=2n} dla pewnych m , n ∈ Z , {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ,} zatem istotnie a − b = 2 m − 2 n = 2 ( m − n ) = 2 k ∈ 2 Z {\displaystyle a-b=2m-2n=2(m-n)=2k\in 2\mathbb {Z} } dla pewnego k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } (różnica liczb parzystych jest liczbą parzystą); ponadto 0 ∈ 2 Z , {\displaystyle 0\in 2\mathbb {Z} ,} zatem 2 Z ≠ ∅ . {\displaystyle 2\mathbb {Z} \neq \varnothing .}
  31. ↑ Niech G {\displaystyle G} będzie grupą przemienną, wtedy a H ∋ a h = h a ∈ H a {\displaystyle aH\ni ah=ha\in Ha} dla dowolnego h ∈ H {\displaystyle h\in H} na mocy przemienności, czyli a H = H a {\displaystyle aH=Ha} dla każdego a ∈ G . {\displaystyle a\in G.}
  32. ↑ Jeżeli jednym z elementów dwuelementowego podziału jest H = e H = H e , {\displaystyle H=eH=He,} gdzie e ∈ G {\displaystyle e\in G} jest elementem neutralnym (podgrupa ta jest zarazem warstwą lewo- jak i prawostronną), to drugim musi być dopełnienie G ∖ H {\displaystyle G\smallsetminus H} podgrupy H {\displaystyle H} w G . {\displaystyle G.}
  33. ↑ Grupa S 3 {\displaystyle S_{3}} nazywana również grupą symetryczną rzędu 6 {\displaystyle 6} ma strukturę identyczną z grupą diedralną D 3 {\displaystyle D_{3}} będąca grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. grupa euklidesowa).
  34. ↑ Pozostałe dwie podgrupy to jednoelementowa podgrupa trywialna zawierająca przekształcenie tożsamościowe oraz cała grupa S 3 . {\displaystyle S_{3}.}
  35. ↑ Równoważnie: Każdy element znajduje się w pewnej warstwie podwójnej, a jeśli element należy do dwóch warstw podwójnych, to są one równe.
    Dowód: Ponieważ a = e a e ∈ H a K , {\displaystyle a=eae\in HaK,} gdzie e {\displaystyle e} jest elementem neutralnym grupy, to dowolny element grupy należy do pewnej warstwy podwójnej. Niech warstwy H a K {\displaystyle HaK} oraz H a ′ K {\displaystyle Ha'K} mają element wspólny: h a k = h ′ a ′ k ′ , {\displaystyle hak=h'a'k',} gdzie h , h ′ ∈ H {\displaystyle h,h'\in H} oraz k , k ′ ∈ K ; {\displaystyle k,k'\in K;} należy dowieść, iż warstwy te są równe. Z założonej równości wynika a = ( h − 1 h ′ ) a ′ ( k ′ k − 1 ) ∈ H a ′ K , {\displaystyle a=(h^{-1}h')a'(k'k^{-1})\in Ha'K,} a więc dla dowolnych h ″ ∈ H {\displaystyle h''\in H} i k ″ ∈ K {\displaystyle k''\in K} zachodzi h ″ a k ″ = ( h ″ h − 1 h ′ ) a ′ ( k ′ k − 1 k ″ ) ∈ H a ′ K ; {\displaystyle h''ak''=(h''h^{-1}h')a'(k'k^{-1}k'')\in Ha'K;} zatem H a K ⊆ H a ′ K . {\displaystyle HaK\subseteq Ha'K.} Przeciwne zawieranie dowodzi się analogicznie, skąd H a K = H a ′ K . {\displaystyle HaK=Ha'K.}
  36. ↑ Wzór upraszcza się do zwykłego wzoru na indeksy, gdy jedna z podgrup jest trywialna.

Przypisy

  1. ↑ Białynicki-Birula 2009 ↓, definicja 4.7.
  2. ↑ Gleichgewicht 2004 ↓, definicja 13.4.

Bibliografia

Literatura dodatkowa