Twierdzenie Napoleona

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

Dowód

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz

| A M | | A C | = | A N | | A B | = | C L | | B C | = 3 3 . {\displaystyle {\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}}={\frac {|CL|}{|BC|}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}.}

Stąd

∢ M A N = ∢ C A Z . {\displaystyle \sphericalangle MAN=\sphericalangle CAZ.}

Ponieważ

| A M | | A C | = | A N | | A B | , {\displaystyle {\frac {|AM|}{|AC|}}={\frac {|AN|}{|AB|}},}

więc △ A M N {\displaystyle \triangle AMN} i △ A C Z {\displaystyle \triangle ACZ} są podobne. Zatem

| M N | = | C Z | ⋅ 3 3 . {\displaystyle |MN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.}

Analogicznie pokazujemy, że △ B L N {\displaystyle \triangle BLN} i △ B C Z {\displaystyle \triangle BCZ} są podobne, więc

| L N | = | C Z | ⋅ 3 3 . {\displaystyle |LN|=|CZ|\cdot {\frac {\sqrt {3}}{3}}.}

Stąd | L N | = | M N | . {\displaystyle |LN|=|MN|.} Analogicznie pokazujemy, że | L N | = | L M | , {\displaystyle |LN|=|LM|,} więc △ L M N {\displaystyle \triangle LMN} jest równoboczny.

Zobacz też

  • punkt Fermata
  • problem Napoleona
  • twierdzenie van Aubela