Porównanie topologii – badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina
wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie
są więc
- nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory
i
że
i ![{\displaystyle F_{2}\notin \tau _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5083b80083c26a98cf0fcc720e82fec279114e13)
- porównywalne, gdy
lub ![{\displaystyle \tau _{2}\subseteq \tau _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5804723d89123eb3652f764cb8fd9bcfb2294e)
W szczególności, jeżeli topologie
i
są porównywalne, to mówi się, że
jest silniejsza, bogatsza bądź większa od
a
jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od
gdy
![{\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f850dc411967bb4121ad24c0290daababa0d6ca1)
Własności
Jeżeli
to słuszne są następujące stwierdzenia:
- Każdy zbiór otwarty w topologii
jest również otwarty w topologii ![{\displaystyle \tau _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcee57d9e421b3cda35d0a37a5f849a471a0a2d)
- Każdy zbiór domknięty w topologii
jest również domknięty w topologii ![{\displaystyle \tau _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcee57d9e421b3cda35d0a37a5f849a471a0a2d)
- Domknięcie zbioru otwartego w topologii
jest zawarte w domknięciu tego zbioru w topologii ![{\displaystyle \tau _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcee57d9e421b3cda35d0a37a5f849a471a0a2d)
- Przekształcenie tożsamościowe
jest ciągłe. - Przekształcenie tożsamościowe
jest otwarte.
W szczególności, jeżeli
są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja
jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja
gdy ![{\displaystyle \sigma _{1}\subseteq \sigma _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b003e1a498017d56efc9dc5e81f6db565e48f5)
gdy ![{\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f850dc411967bb4121ad24c0290daababa0d6ca1)
Rodzina
wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia trywialna/antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).
Przykład
Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:
tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w ![{\displaystyle X^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a692cfb67f45a2d7ea48cabe91e4792e9f26ae17)
słabą topologię w ![{\displaystyle X^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a692cfb67f45a2d7ea48cabe91e4792e9f26ae17)
topologię *-słabą.
Zachodzi między nimi następujący związek:
![{\displaystyle \tau ^{w^{*}}\subseteq (\tau ^{*})^{w}\subseteq \tau ^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f713ca96cebf48133857ec0626fca492fe16e330)
Ogólniej, jeżeli
jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności
).
Krata topologii
Osobny artykuł: topologie komplementarne.
Rodzina
wszystkich topologii w zbiorze
tworzy kratę zupełną z działaniami
![{\displaystyle \tau _{1}\wedge \tau _{2}=\tau _{1}\cap \tau _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6924864341c441de74e283a478f2979d6f4ad75)
![{\displaystyle \tau _{1}\vee \tau _{2}=\bigcap \{\tau \in {\mathfrak {T}}\colon \tau _{1}\cup \tau _{2}\subseteq \tau \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75a20a5e319829a686fc253cd60544ef4731625)
dla
Krata ta na ogół nie jest komplementarna.
Bibliografia
- Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 28–30. ISBN 3-540-64241-2.
- Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6. Brak numerów stron w książce