Miara ściśle dodatnia

Miara ściśle dodatnia – miara, która „nigdzie nie znika” lub też „zeruje się tylko w punktach”.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie topologiczną przestrzenią Hausdorffa, zaś ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ będzie σ-algebrą na ${\displaystyle X}$ zawierającą topologię ${\displaystyle \tau ,}$ co gwarantuje, że każdy zbiór otwarty jest mierzalny, zaś ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ jest przynajmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska na ${\displaystyle X.}$ Miarę ${\displaystyle \mu }$ określoną na ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ nazywa się ściśle dodatnią, jeżeli każdy niepusty podzbiór otwarty ${\displaystyle X}$ jest dodatniej miary.

W zwięźlejszym zapisie: ${\displaystyle \mu }$ jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \forall _{\begin{smallmatrix}U\in \tau \colon \\U\neq \varnothing \end{smallmatrix}}\;\mu (U)>0.}$

Przykłady

• Miara licząca określona na dowolnym zbiorze ${\displaystyle X}$ (wyposażonym w jakąkolwiek topologię) jest ściśle dodatnia.
• Miara Diraca zwykle nie jest ściśle dodatnia, o ile topologia ${\displaystyle \tau }$ nie jest dostatecznie „uboga” (ma „mało” zbiorów). Przykładowo ${\displaystyle \delta _{0}}$ określona na prostej rzeczywistej z jej standardowymi, borelowskimi topologią i σ-algebrą nie jest ściśle dodatnia; jednakże, jeśli ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest wyposażona w trywialną topologię ${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\mathbb {R} \},}$ to ${\displaystyle \delta _{0}}$ jest ściśle dodatnia. Przykład ten ilustruje istotność topologii przy określaniu ścisłej dodatniości miary.
• Miara Gaussa na przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest lokalnie skończona.
  • miara Wienera na przestrzeni dróg w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest ściśle dodatnia – miara Wienera jest przykładem miary Gaussa na nieskończeniewymiarowej przestrzeni.
• Miara Lebesgue’a na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (z jej borelowskimi topologią i σ-algebrą) jest ściśle dodatnia.
• Miara trywialna nigdy nie jest ściśle dodatnia, bez względu na przestrzeń, czy użytą topologię.

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle \mu ,\nu }$ są miarami określonymi na topologicznej przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}}),}$ przy czym ${\displaystyle \mu }$ jest ściśle dodatnia, a ponadto bezwzględnie ciągła względem ${\displaystyle \nu ,}$ to ${\displaystyle \nu }$ także jest ściśle dodatnia.
• Na mocy powyższej własności ścisła dodatniość jest niezmiennikiem względem równoważności miar.

Zobacz też

• nośnik miary: miara jest ściśle dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy jej nośnikiem jest cała przestrzeń.