Element regularny półgrupy

Element regularny półgrupy – element półgrupy ${\displaystyle (S,\cdot ),}$ mający uogólnioną odwrotność, tj. taki element ${\displaystyle x\in S,}$ że dla pewnego ${\displaystyle y\in S}$ zachodzi warunek

${\displaystyle xyx=x.}$

Jeżeli ${\displaystyle x}$ jest elementem regularnym ${\displaystyle S,}$ czyli ${\displaystyle xyx=x}$ dla pewnego ${\displaystyle y\in S,}$ to ${\displaystyle yxy}$ jest elementem odwrotnym do ${\displaystyle x.}$

Podzbiór półgrupy nazywany jest podzbiorem regularnym, gdy każdy jego element jest regularny. Półgrupa regularna to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-klasy regularne

Regularność jest cechą ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-klas półgrupy (zob. relacje Greena), co pokazuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Jeżeli pewna ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-klasa ${\displaystyle \mathrm {D} }$ półgrupy ${\displaystyle S}$ zawiera element regularny, to każdy element ${\displaystyle \mathrm {D} }$ jest regularny.

Ważna jest też następująca charakteryzacja ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-klas regularnych:

Twierdzenie. Niech ${\displaystyle \mathrm {D} \in S/{\mathcal {D}}.}$ ${\displaystyle \mathrm {D} }$ jest reglarna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych ${\displaystyle \mathrm {L} \in S/{\mathcal {L}}}$ i ${\displaystyle \mathrm {R} \in S/{\mathcal {R}}}$ takich, że ${\displaystyle \mathrm {L} \subseteq \mathrm {D} }$ i ${\displaystyle \mathrm {R} \subseteq \mathrm {D} }$ zarówno ${\displaystyle \mathrm {L} ,}$ jak i ${\displaystyle \mathrm {R} }$ zawiera przynajmniej jeden idempotent.

Bibliografia

• E.S. Ljapin, Semigroups, Translations of Mathematical Monographs, vol. 3, American Mathematical Society, 1963.