Innen matematikk er Lp-rommene funksjonsrom definert som en naturlig generalisering av p-normen for endeligdimensjonale vektorrom. De kalles også for Lesbesgue-rom, navngitt etter Henri Lebesgue. Lp-rom er også Banachrom, og utgjør en viktig klasse av topologiske vektorrom innen funksjonalanalyse. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av mål- og sannsynlighetsrom, og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.
Definisjon
La
være et målrom og
kan man definere en norm gitt ved
![{\displaystyle ||f||_{p}=(\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu )^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55354e0abeb80f9852d07620b022427873e54236)
for
, og
![{\displaystyle ||f||_{\infty }=inf\{M:|f|\leq M\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d683a86dcb7482fa6cbc1051f7580ea4d8ea74)
nesten overalt (med hensyn til målet
). Da er det korresponderende Lp-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).[1]
Man kan tenke på
-rom som en generalisering av
-rom, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis
![{\displaystyle |f|_{2}=(\int _{\Omega }|f|^{2}d\mu )^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf777d9ba913dbea7bd2f594594266caf2ecf9f)
er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f{\overline {g}}d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9564b37611cbd9e24bb2990e2bb57b16f7e1afc)
definert over et funksjonsrom.
Lp-rom over
Dersom
er det vanlig å referere til
-rommet som
.[1]
Lp-rom over følgerom
Dersom
er tellemålet er det vanlig å referere til
-rommet som
, eller bare
.[1]
Egenskaper
Grunnleggende egenskaper
For alle Lp-rom gjelder følgende:[1]
- For alle
og alle skalarer
gjelder ![{\displaystyle ||\alpha f||_{p}=|\alpha |||f||_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d39ce8acac84b230b96199bf76214dd4b5c53e)
er et vektorrom - For alle
finnes det en følge av enkle funksjoner
i Lp som konvergerer til f nesten overalt: ![{\displaystyle s_{n}\to f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9b6869969d4a7b0058959b5862289c1ac920d6)
![{\displaystyle ||f-s_{n}||_{p}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737d14d109f0cc5aabb45ef30cf45a0f5c354584)
![{\displaystyle \int _{\Omega }|s_{n}|^{p}d\mu \to \int {\Omega }|f|^{p}d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fb98473c1b5bd3b18bced3d4a63eb226a5dd46)
Hölders ulikhet
Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at
og
, og slik at
, og
to A-målbare funksjoner, har vi at
![{\displaystyle ||fg||_{1}=\int _{\Omega }|fg|d\mu \leq ||f||_{p}||g||_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbea2cbe614ff335547cdacdc62abaac530d7c0)
med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter
som ikke begge er 0, slik at
.[1]
Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis
får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.
Dersom vi jobber med funksjonsrom over
, der
f.eks. kan være et interval
kan ulikheten uttrykkes som
![{\displaystyle \int _{a}^{b}|fg|dx\leq ||f||_{p}||g||_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47aaa2422abd9eca480e0f123e53ec1b65d8e1f)
Minkowskis ulikhet
La
igjen. Da gjelder
![{\displaystyle ||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b231531974c44773f17da07d50b4bd4b4801f817)
for alle
.[1]
Dette kalles for Minkowskis ulikhet.
Riesz' teorem
For
er
et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved
, altså et Banach-rom.[1]
Dette kalles for Riesz' teorem. For
har vi at
fortsatt er et vektorrom, men || · ||p er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for
er
et metrisk rom.[1] For
er
også et Hilbertrom.
Referanser
- ^ a b c d e f g h McDonald og Weiss, A course in real analysis, side 475–478.
Litteratur
- John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). A Course in Real Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1.
Eksterne lenker
- (en) Eric W. Weisstein, Lp-space i MathWorld.
Oppslagsverk/autoritetsdata | NKC |
---|