Funktorer er tilordninger som kan tenkes på som funksjoner mellom kategorier.
Definisjon
La C and D være kategorier. En (kovariant) funktor F fra C til D er en tilordning som
- til ethvert objekt
tilordner et objekt
, - til enhver morfi
tilordner en morfi
slik at de følgende krav oppfylles:
for alle ![{\displaystyle X\in C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbba9385d2769d1b712aace22eb12b7b027532f)
for alle morfier
og ![{\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c7f4a80327151255db9c75c42293622cc4bc81)
En kontravariant funktor F fra C til D er en tilordning som
- til ethvert objekt
tilordner et objekt
, - til enhver morfi
tilordner en morfi
slik at de følgende krav oppfylles:
for alle ![{\displaystyle X\in C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbba9385d2769d1b712aace22eb12b7b027532f)
for alle morfier
og ![{\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c7f4a80327151255db9c75c42293622cc4bc81)
Funktorer må altså bevare identitetsmorfier og komposisjon av morfier.
Eksempler
I kategorien F-vektorrom for en gitt kropp F er de følgende tilordningene funktorer:
- Tilordning av dualrom V* til et vektorrom V.
- Tilordning av homomorfier inn i og ut av V. Hom(V,–) er kovariant og Hom(-,V) er kontravariant.
- Tilordning av F-tensorprodukt med V.
Oppslagsverk/autoritetsdata | Encyclopædia Britannica · MathWorld |
---|