Stelling van Ostrowski

De stelling van Ostrowski is een stelling uit de getaltheorie die zegt dat elke niet-triviale absolute waarde op de rationale getallen equivalent is met ofwel de gebruikelijke absolute waarde of met een ${\displaystyle p}$-adische absolute waarde. De stelling werd in 1916 bewezen door Alexander Ostrowski.

Definitie

Voor elk priemgetal ${\displaystyle p}$ is de ${\displaystyle p}$-adische absolute waarde ${\displaystyle |\,\cdot \,|_{p}}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle |\,x\,|_{p}={\begin{cases}0,&{\text{voor }}x=0\\\\p^{-n},&{\text{voor }}x=p^{n}{\frac {a}{b}}{\text{ met }}a,b,p{\text{ paarsgewijze onderling priem en }}n\in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

Equivalentie

Twee absolute waarden ${\displaystyle |\,\cdot \,|}$ en ${\displaystyle |\,\cdot \,|'}$ op een verzameling ${\displaystyle V}$ zijn equivalent, als voor alle ${\displaystyle x\in V}$ geldt:

${\displaystyle |\,x\,|<1\Longleftrightarrow |\,x\,|'<1}$

Voor absolute waarden op een lichaam ${\displaystyle K}$ is deze eis gelijkwaardig met het bestaan van een reële constante ${\displaystyle c>0}$, zo, dat voor alle ${\displaystyle x\in K}$ geldt:

${\displaystyle |\,x\,|'=|\,x\,|^{c}}$

Stelling

Elke niet-triviale absolute waarde ${\displaystyle |\,\cdot \,|_{*}}$ op de rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is equivalent met de absolute waarde ${\displaystyle |\,\cdot \,|}$ of met een ${\displaystyle p}$-adische absolute waarde ${\displaystyle |\,\cdot \,|_{p}}$.

Bewijs

Er worden twee gevallen onderscheiden:

1. Er is een ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ met ${\displaystyle |n|_{*}>1}$
2. Voor alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ is ${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$

Geval 1

Er is een ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ met ${\displaystyle |n|_{*}>1}$. Nu is ${\displaystyle |0|_{*}=0}$ en ${\displaystyle |1|_{*}^{2}=|1|_{*}}$, zodat ${\displaystyle |1|_{*}=1}$, dus ${\displaystyle n>1}$.

Zij ${\displaystyle b,k\in \mathbb {N} }$ met ${\displaystyle b>1}$. Schrijf ${\displaystyle b}$-tallig:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{m}c_{i}b^{i}\quad }$ met ${\displaystyle \quad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,b-1\}\quad }$ en ${\displaystyle \quad c_{m}>0}$

Dan is

${\displaystyle n^{k}\geq b^{m},\quad }$ dus ${\displaystyle \quad m\leq k{\frac {\log n}{\log b}}}$

Maar

${\displaystyle {\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&=|n^{k}|_{*}\leq \sum _{i=0}^{m}|c_{i}b^{i}|_{*}\\&\leq (m+1)\max _{i}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}=(m+1)\max _{i}\{|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}\}\\&\leq (m+1)\max _{i}\{|c_{i}|_{*}\}\,\max\{|b|_{*}^{m},1\}\end{aligned}}}$

Nu is

${\displaystyle \max _{i}\{|c_{i}|_{*}\}\leq \max _{k=0}^{b-1}\{|k|_{*}\}\leq b\quad }$ en ${\displaystyle \quad |b^{i}|_{*}=|b|_{*}^{i}\leq \max\{|b|_{*}^{m},1\}}$

dus

${\displaystyle |n|_{*}^{k}\leq b\,(m+1)\max\{|b|_{*}^{m},1\}\leq b(k\log _{b}n+1)\max\{|b|_{*}^{k\log _{b}n},1\}}$

Dus

${\displaystyle |n|_{*}\leq {\big (}b(k\log _{b}n+1){\big )}^{\frac {1}{k}}\max\{|b|_{*}^{\log _{b}n},1\}}$

Als ${\displaystyle k\to \infty }$, volgt

${\displaystyle {\big (}b(k\log _{b}n+1){\big )}^{\frac {1}{k}}\to 1}$

zodat

${\displaystyle |n|_{*}\leq \max\{|b|_{*}^{\log _{b}n},1\}}$

Samen met ${\displaystyle |n|_{*}>1}$ blijkt dus dat ${\displaystyle |b|_{*}>1}$ voor elke keuze van ${\displaystyle b>1}$ (anders zou ${\displaystyle |b|_{*}^{\log _{b}n}\leq 1}$, zodat ${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$). Bijgevolg moet voor iedere ${\displaystyle a>1}$ gelden ${\displaystyle |a|_{*}>1}$.

Dus is voor alle ${\displaystyle b,a\in \mathbb {N} }$:

${\displaystyle |a|_{*}\leq |b|_{*}^{\frac {\log a}{\log b}}}$

of herschreven

${\displaystyle {\frac {\log |a|_{*}}{\log a}}\leq {\frac {\log |b|_{*}}{\log b}}}$

Uit symmetrie volgt dan gelijkheid.

Omdat ${\displaystyle b,a\in \mathbb {N} }$ willekeurig zijn, is er een constante ${\displaystyle c\in \mathbb {R} _{+}}$ waarvoor

${\displaystyle \log |k|_{*}=c\log k}$

d.w.z.

${\displaystyle |k|_{*}=k^{c}=|k|^{c}}$

voor alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,k>1}$.

Dus is ${\displaystyle |x|_{*}=|x|^{c}}$ ook voor alle ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$, waarmee de equivalentie is aangetoond.

Geval 2

Voor alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ is ${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$. Maar dan is er een priemgetal ${\displaystyle p}$, en dat is het enige, waarvoor ${\displaystyle |p|_{*}<1}$. Stel namelijk dat voor het priemgetal ${\displaystyle q\neq p}$ ook geldt dat ${\displaystyle |q|_{*}<1}$.

Kies dan ${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$ zo, dat ${\displaystyle |p|_{*}^{w}<{\tfrac {1}{2}}}$ en ${\displaystyle |q|_{*}^{w}<{\tfrac {1}{2}}}$. Volgens het algoritme van Euclides zijn er gehele getallen ${\displaystyle a,b}$ waarvoor ${\displaystyle ap^{w}+bq^{w}=1}$. Dan volgt

${\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{w}+|b|_{*}|q|_{*}^{w}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1}$

wat een tegenspraak inhoudt.

Elke ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ is het product van priemgetallen, dus:

${\displaystyle |n|_{*}=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{m_{i}}\right|_{*}=\prod _{i<r}|p_{i}|_{*}^{m_{i}}=|p|_{*}^{m}=(p^{-m})^{c}=|n|_{p}^{c}}$,

met ${\displaystyle c=-{\frac {\log |p|_{*}}{\log p}}}$ en ${\displaystyle m=0,|n|_{*}=1}$ als ${\displaystyle n}$ niet deelbaar is door ${\displaystyle p}$.

Maar dan is ook voor alle ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |x|_{*}=|x|_{p}^{c}}$

dus is ${\displaystyle |\,\cdot \,|_{*}}$ equivalent met een ${\displaystyle p}$-adische absolute waarde.