文様群
文様群(もんようぐん、英: wallpaper group)もしくは壁紙群(かべがみぐん)は、パターンの対称性に基づく、2次元内での繰り返しパターンに関する数学的な分類である。このようなパターンは、建築や美術で頻繁に使用され、そのパターンは17種に大別される。
歴史
1891年にEvgraf Fedorovによって、2次元空間内での繰り返しパターンが17種に大別されることの証明が試みられ[1]、1924年George Pólyaによって証明された[2]。
卜部東介(1953–2011、当時茨城大学)が、2002年に 利根安見子、近藤誠造(京都府立大学)の協力のもと、日本の伝統文様には17種類の文様群すべてが含まれていることをインターネット上に発表した。[1]
導入
文様群は、対称性によるパターン分類であるため、色・形状・サイズが大きく違う場合でも、同じグループに分類される。
対称性
17種のパターンは対称性の組み合わせからなっている。
- 並進対称性:Translations
- 回転(60°、 90°、120°、180°):Rotations
- 鏡映(鏡像対称性):mirror isometries
- 映進(並進と鏡映の組み合わせ):Glide reflections
文様群の表記
結晶学記法
結晶は3次元空間の空間群で属するが、2次元の文様群を表記することは可能である。
- 基本胞(primitive cell)の場合P、中心胞 (centered cell) の場合はCが頭文字となる。
- 回転対称数:360°/n 回
- 鏡映:鏡映対称性が組み合わさった場合は、mirror isometriesからm、鏡映していない場合は1(もしくは省略)
- 映進:映進対称性が組み合わさった場合は、Glide reflectionsからg、映進していない場合は1(もしくは省略)
例
- p2 (p211): 基本胞、回転対称2、鏡映・映進無し
- c2mm: 中心胞、回転対称2、主軸と垂直の軸で鏡映
- p31m: 基本胞、回転対称3、鏡軸は60°の鏡映
オービフォルド記法
詳細は「オービフォルド記法(英語版)」を参照
17種の文様群
- 記号説明
ひし形は 180° (= 360°/ 2) の回転中心
三角形は、120° (= 360°/3) の回転中心
正方形は、90° (= 360°/4) の回転中心
六角形は、60° (= 360°/6) の回転中心
太い線は鏡映軸
鏡映と並進を組み合わせた映進軸
- 黄色い領域は、基本パターンである。
p1群
P1群は、並進のみの連続パターンで、その他の回転などは含まない。
- オービフォルド記法:o
- 点群: C1
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%EF%BC%9C%E9%9B%B2%E7%AB%8B%E6%B6%8C%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%EF%BC%9C%E9%9B%B2%E7%AB%8B%E6%B6%8C%EF%BC%9E.jpg)
p2群
- オービフォルド記法:2222
- 点群: C2
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%EF%BC%9C%E5%AD%90%E6%8C%81%E5%90%89%E5%8E%9F%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%EF%BC%9C%E5%AD%90%E6%8C%81%E5%90%89%E5%8E%9F%EF%BC%9E.jpg)
pm群
- オービフォルド記法:**
- 点群: D1
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E6%A1%90%E7%AB%8B%E6%B6%8C%EF%BC%9E.jpg)
pg群
- オービフォルド記法:××
- 点群: D1
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E9%8E%8C%E8%BC%AA%E3%81%AC%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E9%8E%8C%E8%BC%AA%E3%81%AC%EF%BC%9E.jpg)
cm群
- オービフォルド記法:*×
- 点群: D1
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E9%9D%92%E6%B5%B7%E6%B3%A2%EF%BC%9E.jpg)
p2mm群
- オービフォルド記法:*2222
- 点群: D2
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E4%B8%A1%E6%BB%9D%E7%B8%9E%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E4%B8%A1%E6%BB%9D%E7%B8%9E%EF%BC%9E.jpg)
p2mg群
- オービフォルド記法:22*
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/92/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E5%B1%B1%E8%B7%AF%E6%96%87%EF%BC%9E.jpg)
p2gg群
- オービフォルド記法:22×
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E7%B4%97%E7%B6%BE%E5%BD%A2%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E7%B4%97%E7%B6%BE%E5%BD%A2%EF%BC%9E.jpg)
c2mm群
- オービフォルド記法:2*22
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E6%9D%BE%E7%9A%AE%E8%8F%B1%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E6%9D%BE%E7%9A%AE%E8%8F%B1%EF%BC%9E.jpg)
p4群
- オービフォルド記法:442
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E8%A7%92%E7%B9%8B%E3%81%8E%EF%BC%9E.jpg)
p4mm群
- オービフォルド記法:*442
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E5%B8%82%E6%9D%BE%EF%BC%9E.jpg)
p4mg群
- オービフォルド記法:4*2
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3b/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E4%BA%94%E5%B4%A9%E3%81%97%EF%BC%9E.jpg)
p3群
- オービフォルド記法:333
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e2/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E9%B6%B4%E4%BA%80%E7%94%B2%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E9%B6%B4%E4%BA%80%E7%94%B2%EF%BC%9E.jpg)
p3m1群
- オービフォルド記法:*333
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E6%AF%98%E6%B2%99%E9%96%80%E4%BA%80%E7%94%B2%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E6%AF%98%E6%B2%99%E9%96%80%E4%BA%80%E7%94%B2%EF%BC%9E.jpg)
p31m群
- オービフォルド記法:3*3
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E6%AF%98%E6%B2%99%E9%96%80%E4%BA%80%E7%94%B2%EF%BC%92%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E6%AF%98%E6%B2%99%E9%96%80%E4%BA%80%E7%94%B2%EF%BC%92%EF%BC%9E.jpg)
p6群
- オービフォルド記法:632
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E5%85%AD%E3%81%A4%E6%89%8B%E5%8D%8D%EF%BC%9E.jpg)
p6mm群
- オービフォルド記法:*632
- 点群:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E9%BA%BB%E3%81%AE%E8%91%89%EF%BC%9E.jpg/220px-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E4%BC%9D%E7%B5%B1%E6%96%87%E6%A7%98%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E4%BE%8B%EF%BC%9C%E9%BA%BB%E3%81%AE%E8%91%89%EF%BC%9E.jpg)
参考文献
- ^ E. Fedorov (1891) "Simmetrija na ploskosti" [Symmetry in the plane], Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society], series 2, vol. 28, pages 245-291 (in Russian)
- ^ George Pólya (1924) "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene," Zeitschrift für Kristallographie, vol. 60, pages 278–282.
さらなる学習用の図書
- 難波誠:「合同変換の幾何学」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0633-6 (2024年4月21日)。
- 河野俊丈:「結晶群」、共立講座 数学探検 7、ISBN 978-4320111806 (2015年6月25日)。
- 岩堀長慶:「復刻版 初学者のための合同変換群の話」、現代数学社、 ISBN 978-4768705322 (2020年4月23日)。