数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)(コンウェイとガイによる命名)とは、虚二次体
の類数が
となる平方因子を持たない正の整数
のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ[1]。
このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。
(ベイカー・)スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。
オンライン整数列大辞典の数列 A003173
この結果はガウスによって予想され、1952年にクルト・ヘーグナー(英語版)によって軽微な誤りを含む証明がなされた。 アラン・ベイカーとハロルド・スターク(英語版)は1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した[2]。
オイラーの素数生成多項式
n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式(英語版)
![{\displaystyle n^{2}-n+41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c4504253486e5ff537490356c8529390687bdb)
は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。
オイラーの式において
が 1, ..., 40 の値をとるとすると、
が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。
![{\displaystyle n^{2}+n+41}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a477b84cb5d1e1ab0c7f443355474676eb22b5)
ラビノヴィッチ(英語版) [3]は
![{\displaystyle n^{2}+n+p\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc61dafeaa57dd0b5712e7fe090a63e55ea0ca7)
について、判別式
が負のヘーグナー数の場合、またそのときに限り、
に対して素数を与えることを証明した。
(なお
を代入すると
となるため、
が n の最大値となる。)
を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は
であり、これらはオイラーの形の素数生成式における
にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、リヨネ(英語版)によってオイラーの幸運数(英語版)と呼ばれている[4]。
ほとんど整数とラマヌジャンの定数
ラマヌジャンの定数とは超越数[5]
のことであり、整数に非常に近い(英語版)という点でほとんど整数である。
[6] ![{\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5218da5eb4a2dc13803269c7938fab1a4f15579)
この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された[7]。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事[8] 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。
この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。
詳細
簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して
は整数であり、
が q -展開によって示される。
もし
が二次無理数とすると、j-不変量は次数
の代数的整数であり、
の類数と
が満たす最小(モニック整数)多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体
の類数が 1 であれば(つまり d はヘーグナー数)、 j-不変量は整数となる。
フーリエ級数展開を
のローラン級数として表した j の q-展開は、最初の3項は以下のとおりである:
![{\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58139af0cfcc6f366fcfe70edf6f905888cb890c)
ローラン級数の係数
は漸近的に
のように増大し、また低次の係数の増大が
よりも遅いため、
において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。
とすると
つまり
となる。ここで
とすると、以下の式が得られる。
![{\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fd8a622e45163605f0f230049c22c4ca15580b)
これはすなわち
![{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cb00f04614ed25b5d0acda08f3008689ca8c29)
であり、誤差の線形項は
![{\displaystyle -196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9973e411c7f2333b2d177c8cfa34a0e02e04c43f)
となるため、
が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。
円周率の式
1987年、チュドノフスキー兄弟(英語版)は以下の式を発見した。
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e67b51bbc6b8a1db968511de01d87d478dc81f7)
これは、
という事実を用いている。同様の式については、ラマヌジャン・佐藤級数(英語版)を参照せよ。
その他のヘーグナー数
大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる[9] 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1b0410510e779ef58ca854be7818be9513104b)
あるいは、 [10]
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23dd1a171114f22d67d9767d8917799883540c1)
ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。
のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、
さえ注目に値しない[11]。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは
ということに従う。素因数は以下のとおりである。
![{\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5\,280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\,320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636ffe295ec7edc042f17121b6f52f7aabe3c7ec)
これらの超越数は、(単に次数 1 の代数的数である)整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる[12]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;\ \ \qquad \qquad \qquad x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;\qquad \qquad \quad x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9;\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83ae8bcfb7ba3ec65882ea45b38ad4520d22087)
3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる[13]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(1-960/24+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(1-5\,280/24+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(1-640\,320/24+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9d3d685c5da04985e949d05e0ad53d6bbad427)
括弧内の式を
とおくと(例:
)、
はそれぞれ四次方程式を満たす。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}-4\cdot 3x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}\qquad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 9x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}\ \ \quad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 21x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}\quad \ \;-{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1354dcf76e701a20e89ad95a45053daa5a274fe7)
整数
の再出現と、以下の事実に注意せよ。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-(1-96/24)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19)=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-960/24)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43)=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-5\,280/24)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67)=5\,280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-640\,320/24)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163)=640\,320^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd46b2686b3b1b557bb2cdd6b0bce2ef3e6984a8)
これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。
同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba565a31271e4311502a2704cfd28844d85790a4)
ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5\,280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec0499a7832143e02913c2c1d16698cc4066abb)
ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体
[14] の上で2つの三次式に因数分解される(最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる)ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、
とすると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42828f5ede3f342e2460b5de93145473f921bd1)
ここで、イータ商は上記の代数的数である。
類数 2 の数値
類数
を持つ虚二次体
を与える3つの数字
は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744\approx \quad \quad 2\,508\,952^{2}&-.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744\approx \quad 199\,148\,648^{2}&-.000\,97\dots \\\ e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744\approx 24\,591\,257\,752^{2}&-.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0441bb4bf3119932d28d7a0ca1683dbaaabf4aca)
そして
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx (6+4{\sqrt {2}})^{6}\quad +.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}{\color {red}+}\,24&\approx (12+2{\sqrt {37}})^{6}-.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx (27+5{\sqrt {29}})^{6}-.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e366fe367853b65240e8683b73ee290ab5cad3f7)
連続素数
p を奇素数として、
に対して
を計算すると(
なので、k の範囲はこれで十分である)、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数のに続いて連続する合成数が得られる[15]。
詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ[16]。
脚注
- ^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. p. 224. ISBN 0-387-97993-X. https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/224
- ^ Stark, H. M. (1969), “On the gap in the theorem of Heegner”, Journal of Number Theory 1: 16–27, doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/33039/1/0000425.pdf
- ^ Rabinovitch, Georg(英語版) "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern."
- ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables.
- ^ Weisstein, Eric W. "Transcendental Number". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld
- ^ Barrow, John D (2002). The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6
- ^ Gardner, Martin (April 1975). “Mathematical Games”. Scientific American (Scientific American, Inc) 232 (4): 127.
- ^ これらは計算機で
計算することで確かめられ、誤差の線形項は
で確認できる。 - ^ https://groups.google.com/g/sci.math.research/c/PSQTfJqGCJM?hl=en
- ^ 実数乱数の絶対偏差(たとえば [0,1] 区間の一様乱数)は [0, 0.5] の一様乱数となり、絶対平均偏差(英語版)と中央絶対偏差(英語版)は0.25となるため、偏差0.22はほぼ整数とみなすには大きすぎる。
- ^ “Pi Formulas”. 2020年6月閲覧。
- ^ “Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients”. 2020年6月閲覧。
- ^ 訳註:原文では
- ^ http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm
- ^ Mollin, R. A. (1996). “Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields”. Acta Arithmetica 74: 17–30. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa74/aa7412.pdf.
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Heegner Number". mathworld.wolfram.com (英語).
- OEIS sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization)
- Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: 問題の詳細な歴史
- Clark, Alex. “163 and Ramanujan Constant”. Numberphile. Brady Haran. 2013年5月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年4月2日閲覧。