Reciprocità quadratica
In matematica, nella teoria dei numeri, la legge di reciprocità quadratica riguarda la risolubilità relativa in aritmetica modulare di due equazioni quadratiche correlate, dando le condizioni per cui entrambe, nessuna o una sola di esse hanno soluzione. Come conseguenza, ci permette di determinare la risolubilità di una qualunque equazione quadratica in aritmetica modulare.
È stata inizialmente congetturata da Eulero e Legendre, e dimostrata in maniera soddisfacente da Gauss nel 1796.
Enunciato
Siano p e q due differenti numeri primi diversi da 2. Questo implica, in particolare, che p e q sono congrui a 1 oppure a 3 (mod 4). Se almeno uno di essi è congruo a 1 mod 4, allora la congruenza
ha una soluzione x se e solo se la congruenza
ha una soluzione y (le due soluzioni in genere saranno differenti). Se invece entrambi i numeri primi sono congrui a 3 mod 4, allora la congruenza
ha una soluzione x se e solo se la congruenza
non ha alcuna soluzione.
Utilizzando il simbolo di Legendre
si può riassumere il tutto come
Dato che è pari se almeno uno tra p e q è congruo a 1 mod 4, e dispari solo quando sia p che q sono congrui a 3 mod 4, è uguale a 1 se almeno uno tra p e q è congruo a 1 mod 4, ed è uguale a – 1 quando sia p che q sono congrui a 3 mod 4.
Esempio
Se prendiamo ad esempio p pari a 11 e q a 19, la legge di reciprocità quadratica ci dice che = , che a sua volta è uguale a o per le proprietà dell'aritmetica modulare. Per proseguire, ci occorre un procedimento per calcolare esplicitamente e . Dato che
- ,
possiamo proseguire vedendo che = , e continuare la catena con , o , completando così il calcolo.
Varie
Gauss fu assai fiero di tale legge, da lui definita Aureum Theorema, tanto che negli anni ne pubblicò svariate dimostrazioni. Il libro di Franz Lemmermeyer Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, pubblicato nel 2000, contiene citazioni di 196 dimostrazioni differenti della legge di reciprocità quadratica.
Esistono anche leggi di reciprocità cubica, quartica (biquadratica) e per esponenti maggiori; ma già due delle radici cubiche di 1 (radici dell'unità) non sono numeri reali, e quindi tali reciprocità sono al di fuori dell'aritmetica dei numeri razionali.
Il lemma di Gauss tratta delle proprietà dei residui quadratici e viene usato in due delle dimostrazioni gaussiane della legge.
Bibliografia
- H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo III.5
Collegamenti esterni
- (EN) quadratic reciprocity law, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Reciprocità quadratica, su MathWorld, Wolfram Research.
V · D · M | ||
---|---|---|
Numeri più usati | Naturali · Interi · Pari e dispari | |
Principi generali | Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza | |
Successioni di interi | Fattoriale · Successione di Fibonacci · Numero di Catalan · Numero di Perrin · Numero di Eulero · Successione di Mian-Chowla · Successione di Thue-Morse | |
Caratteristiche dei numeri primi | Numero primo · Lemma di Euclide · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica · Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Teorema dei numeri primi | |
Funzioni aritmetiche | Funzione moltiplicativa · Funzione additiva · Convoluzione di Dirichlet · Funzione φ di Eulero · Funzione di Möbius · Funzione tau sui positivi · Funzione sigma · Funzione di Liouville · Funzione di Mertens | |
Aritmetica modulare | Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Criteri di divisibilità · Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati · Teorema di Wilson · Legge di reciprocità quadratica | |
Congetture | Congettura di Goldbach · Congettura di Polignac · Congettura abc · Congettura dei numeri primi gemelli · Congettura di Legendre · Nuova congettura di Mersenne · Congettura di Collatz · Ipotesi di Riemann | |
Altro | Problema di Waring | |
Principali teorici | Fibonacci · Fermat · Gauss · Eulero · Legendre · Riemann · Dirichlet | |
Discipline connesse | Teoria algebrica dei numeri · Teoria analitica dei numeri · Crittografia · Teoria computazionale dei numeri |