In matematica, l'equazione di Lagrange, anche nota come equazione di d'Alembert o equazione di d'Alembert-Lagrange, che prende il nome da Jean d'Alembert e Joseph Louis Lagrange, è un'equazione differenziale del primo ordine della forma:
![{\displaystyle y=xf(y')+g(y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a4075fb9f9368837142deb7ee4aac49816aad2)
dove
e
sono funzioni reali derivabili note. La precedente è talvolta ottenuta riducendo (se possibile) l'equazione:
![{\displaystyle h(y')=x\,f(y')+y\,g(y')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1537af2d93b33733a3728ed11f654106d28f4fc1)
Un caso particolare è l'equazione di Clairault.
Metodo risolutivo
Ponendo
, si riscrive:
![{\displaystyle y=xf(z)+g(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cda1c1e95cc91754fd01d9a112d8fa76ace9f7c)
Derivando rispetto a
, si ottiene:
![{\displaystyle z-f(z)={\frac {dz}{dx}}[xf'(z)+g'(z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5725ac0c9e911ca057df87f0b0c885be16d361f0)
Se il primo termine, uguagliato a zero, ha delle radici
, la funzione
è nulla per quei valori. Si hanno quindi delle soluzioni particolari:
![{\displaystyle y=z_{k}x+g(z_{k})\qquad k\in \{1,\cdots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfba5bbc91c80a3bca24dd3fb0ec21d9dc49b0ec)
Laddove
è diversa da
, si può riscrivere l'equazione derivata come:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dz}}=x{\frac {f'(z)}{z-f(z)}}+{\frac {g'(z)}{z-f(z)}}\qquad *}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e952c2001c8041174b86726cdeb0f17eb5a6edd3)
che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine in
, la cui soluzione può essere ricercata con i metodi usuali. Sia
tale soluzione; allora la soluzione parametrica dell'equazione di d'Alembert è:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{x=h(z,C)}\\&{y=f(z)h(z,C)+g(z)}\qquad **\\\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45625fad2563f7322b4ed32cf03ec2946d8f23f5)
Esempio
Sia dato:
![{\displaystyle y=xy'^{2}+{\frac {3}{2}}y'^{2}-y'^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1072e4134d1cc30eaa019ebba524385803804d20)
Per trovare le soluzioni di
:
![{\displaystyle z-z^{2}=0\Rightarrow z\in \{0,1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b5920b6fb7d7417ea8c8045c5b1e6b08c25801)
le soluzioni particolari sono:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{y=0}\\&{y=x+{\frac {1}{2}}}\\\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668091aa6802b1436940173f706ab1ccbb39d35c)
Applicando la
si ottiene la scrittura:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dz}}={\frac {2x}{1-z}}+3{\frac {z-z^{2}}{z-z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e13f8bfe5bfcc79a54899f8f43aaad01e214c78)
la cui soluzione è:
![{\displaystyle x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936e0892a508c1819a614e9475991abb5c011572)
Sostituendo nella
si ha:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&{x=z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}}\\&{y=z^{2}\left(z-1+{\frac {1+c}{(z-1)^{2}}}\right)+{\frac {3}{2}}z^{2}-z^{3}}\\\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d2bcae625190f42eb353812560f55e474e3cf3)
È possibile eliminare la z risolvendo una delle due equazioni sopra, e sostituendo. Ad esempio, la prima ha come soluzione reale
![{\displaystyle z={}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}+{\frac {x^{2}}{9{}^{3}{\sqrt {{\frac {\sqrt {(c+1)(27+27c-4x^{3})}}{6{\sqrt {3}}}}+{\frac {2x^{3}-27c-27}{54}}}}}}+{\frac {1}{3}}(x+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7171a443973aae3ce40098ab2c1742177e719dfe)
È evidente il motivo per cui, a parte fortunate eccezioni, si preferisce lasciare le soluzioni come parametriche.
Bibliografia
- (EN) J.L. Lagrange, "Sur l'intégration d'une équation différentielle" J.A. Serret (ed.) , Oeuvres , 1 , G. Olms, reprint (1973) pp. 21–36
- (EN) W.W. Stepanow, "Lehrbuch der Differentialgleichungen" , Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1956)
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Equazione di Lagrange, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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