Dominio lipschitziano

In matematica, un dominio lipschitziano o dominio a frontiera lipschitziana è un sottoinsieme aperto e connesso di uno spazio euclideo la cui frontiera è "sufficientemente regolare", nel senso che può essere pensato essere localmente come il grafico di una funzione lipschitziana. Il termine deriva dal matematico tedesco Rudolf Lipschitz.

Molti teoremi di immersione di Sobolev richiedono che il dominio in esame sia lipschitziano; di conseguenza molte equazioni alle derivate parziali e problemi variazionali vengono studiati su domini lipschitziani.

Sia ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle \Omega }$ un sottoinsieme aperto e limitato di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Sia ${\displaystyle \partial \Omega }$ la frontiera di ${\displaystyle \Omega }$. Allora ${\displaystyle \partial \Omega }$ viene definita frontiera lipschitziana ed ${\displaystyle \Omega }$ dominio lipschitziano se per ogni punto ${\displaystyle p\in \partial \Omega }$ esiste un raggio ${\displaystyle r>0}$ ed una mappa ${\displaystyle h_{p}:B_{r}(p)\to Q}$ tale che:

• ${\displaystyle h_{p}}$ è una biezione
• ${\displaystyle h_{p}}$ e ${\displaystyle h_{p}^{-1}}$ sono entrambe lipschitziane
• ${\displaystyle h_{p}(\partial \Omega \cap B_{r}(p))=Q_{0}}$
• ${\displaystyle h_{p}(\Omega \cap B_{r}(p))=Q_{+}}$

dove:

${\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\|x-p\|<r\}}$

denota la palla n-dimensionale di raggio ${\displaystyle r}$ attorno a ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle Q}$ denota la palla unitaria ${\displaystyle B_{1}(0)}$ e:

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}=0\}}$

${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}>0\}}$

• (EN) Dacorogna, B., Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London, 2004, ISBN 1-86094-508-2.

• Frontiera (topologia)
• Funzione lipschitziana
• Grafico di una funzione

• (EN) Ronald H.W. Hoppe - Finite Element Methods - Chapter 2 (PDF), su math.uh.edu.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

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