Divisione dei polinomi

Calcolo letterale

Monomio

Binomio

Trinomio

Polinomio

Prodotti notevoli

Divisione dei polinomi

Divisibilità dei polinomi

Teorema di Ruffini

Regola di Ruffini

Divisibilità di binomi notevoli

In matematica, la divisione dei polinomi detta anche divisione lunga è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al grado del primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili^[1].

Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi ${\displaystyle A(x)}$ e ${\displaystyle B(x)}$ esistono unici altri due polinomi ${\displaystyle Q(x)}$ e ${\displaystyle R(x)}$ tali che:

${\displaystyle A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)}$

posto che il grado di ${\displaystyle R(x)}$ sia minore di quello di ${\displaystyle B(x)}$. Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.

Il grado di ${\displaystyle Q(x)}$ sarà equivalente invece alla differenza tra il grado di ${\displaystyle A(x)}$ e quello di ${\displaystyle B(x)}$.

Nel caso in cui ${\displaystyle R(x)=0}$, ${\displaystyle A(x)}$ sarebbe divisibile per ${\displaystyle B(x)}$.

L'algoritmo comporta l'esecuzione dei seguenti passi^[2]:

1. Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di ${\displaystyle A(x)}$ (ad esempio, ${\displaystyle x^{2}-1}$ andrà scritto come ${\displaystyle x^{2}+0x-1}$).

   ${\displaystyle A(x)}$	${\displaystyle B(x)}$

2. Si divide il termine di grado massimo di ${\displaystyle A(x)}$ per il termine di grado massimo di ${\displaystyle B(x)}$ e si scrive il risultato sotto ${\displaystyle B(x)}$.

   ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +a_{0}}$	${\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}$
   			${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}$

3. Si moltiplica questo termine ${\displaystyle q_{k}x^{k}}$ per il polinomio ${\displaystyle B(x)}$ e si scrive il risultato sotto ${\displaystyle A(x)}$, incolonnando ogni termine sotto il termine di ${\displaystyle A(x)}$ di grado uguale.

   ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +a_{0}}$	${\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}$
   ${\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +b_{0}q_{k}x^{k}}$	${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}$

4. Si esegue la sottrazione tra ${\displaystyle A(x)}$ e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in ${\displaystyle x^{n}}$ si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (${\displaystyle n-1}$ o anche meno).

   ${\displaystyle a_{n}x^{n}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +a_{0}}$	${\displaystyle b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}}$
   ${\displaystyle b_{m}q_{k}x^{m+k}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +b_{0}q_{k}x^{k}}$	${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}}$
   ${\displaystyle //+r_{n-1}x^{n-1}}$	${\displaystyle +\dots }$	${\displaystyle +r_{0}}$

5. Se il grado di questo polinomio differenza ${\displaystyle R_{1}(x)}$ è maggiore o uguale a quello di ${\displaystyle B(x)}$ si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso ${\displaystyle R_{1}}$ come dividendo e aggiungendo il termine

   ${\displaystyle {\frac {r_{n-1}x^{n-1}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k-1}x^{k-1}}$

   a destra del termine ${\displaystyle q_{k}x^{k}}$, come addendo successivo.
6. Quando si sarà raggiunto un polinomio ${\displaystyle R_{i}(x)}$ di grado inferiore a ${\displaystyle B(x)}$, allora tale polinomio ${\displaystyle R_{i}(x)}$ sarà il resto ${\displaystyle R(x)}$ della divisione; il polinomio

   ${\displaystyle Q(x)=q_{k}x^{k}+q_{k-1}x^{k-1}+...+q_{0},}$

   formatosi mano a mano sotto ${\displaystyle B(x)}$, sarà invece il polinomio quoziente.

Per comprendere meglio l'algoritmo di divisione dei polinomi, in seguito viene svolto un esercizio a titolo d'esempio.

Dividiamo il polinomio

${\displaystyle A(x)=3x^{4}-x^{3}}$

per il polinomio

${\displaystyle B(x)=x^{2}-2}$

Scriviamo i due polinomi ${\displaystyle A(x)}$ e ${\displaystyle B(x)}$ come nel modo illustrato più sopra. Così che ognuno dei due polinomi sia ordinato per grado (in modo decrescente) e siano esplicitati anche i monomi con coefficiente 0.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$

Dividiamo il termine di grado massimo di ${\displaystyle A(x)}$, che risulta essere ${\displaystyle 3x^{4}}$, per il termine di grado massimo di ${\displaystyle B(x)}$, che è ${\displaystyle x^{2}}$ e scriviamo il risultato sotto ${\displaystyle B(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
					${\displaystyle 3x^{2}}$

Ora scriviamo, sotto ${\displaystyle A(x)}$, il polinomio ricavato moltiplicando il risultato della divisione dei termini di grado massimo, per il polinomio ${\displaystyle B(x)}$. Bisogna tenere conto dei termini con coefficiente nullo.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}}$

Si può notare che, come già detto nel caso generale, i termini di grado maggiore di ${\displaystyle A(x)}$ e del polinomio scritto sotto ${\displaystyle A(x)}$, sono uguali.

Ora sottraiamo ${\displaystyle A(x)}$ con il polinomio scritto al di sotto per ottenere il polinomio ${\displaystyle R_{1}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$

Il grado di ${\displaystyle R_{1}(x)=-x^{3}+6x^{2}}$ è maggiore di quello di ${\displaystyle B(x)}$, dunque iteriamo il procedimento.

Dividiamo il termine di grado massimo di ${\displaystyle R_{1}}$ che risulta essere ${\displaystyle -x^{3}}$ per il termine di grado massimo di ${\displaystyle B(x)}$ e scriviamo il risultato accanto a quello ottenuto precedentemente.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$

Ora, come nel passo 3, moltiplichiamo il risultato della divisione appena eseguita che, nel nostro esempio risulta essere ${\displaystyle -x}$, per il polinomio ${\displaystyle B(x)}$ e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto ${\displaystyle R_{1}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$

Eseguiamo la sottrazione tra il polinomio ${\displaystyle R_{1}(x)}$ e il polinomio scritto sotto per ottenere ${\displaystyle R_{2}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle //}$	${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +0}$

Dato che il grado di ${\displaystyle R_{2}(x)}$ non è inferiore a quello di ${\displaystyle B(x)}$ dobbiamo iterare ancora un'altra volta il procedimento.

Dividiamo il termine di grado superiore di ${\displaystyle R_{2}(x)}$ per il termine di grado superiore di ${\displaystyle B(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x+6}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle //}$	${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +0}$

Moltiplichiamo ${\displaystyle B(x)}$ per il risultato della divisione appena eseguita e scriviamo il risultato della moltiplicazione sotto ${\displaystyle R_{2}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x+6}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle //}$	${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +0}$
		${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle -12}$

Eseguiamo la sottrazione tra ${\displaystyle R_{2}(x)}$ e il polinomio scritto sotto per ottenere il polinomio ${\displaystyle R_{3}(x)}$.

${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle x^{2}-2}$
${\displaystyle 3x^{4}}$	${\displaystyle +0x^{3}}$	${\displaystyle -6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$	${\displaystyle 3x^{2}-x+6}$
${\displaystyle //}$	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle -x^{3}}$	${\displaystyle +0x^{2}}$	${\displaystyle +2x}$	${\displaystyle +0}$
	${\displaystyle //}$	${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +0}$
		${\displaystyle 6x^{2}}$	${\displaystyle +0x}$	${\displaystyle -12}$
		${\displaystyle //}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle +12}$

Siamo giunti a ${\displaystyle R_{3}(x)=-2x+12}$, che ha grado strettamente minore di ${\displaystyle B(x)=x^{2}-2}$, dunque il resto è

${\displaystyle R(x)=R_{3}(x)}$

e il quoziente della nostra divisione è

${\displaystyle Q(x)=3x^{2}-x+6}$

possiamo quindi scrivere

${\displaystyle {\begin{aligned}A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\&\Downarrow \\3x^{4}-x^{3}=(x^{2}-2)&\cdot (3x^{2}-x+6)+(-2x+12)\end{aligned}}}$

Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma ${\displaystyle B(x)=x-r}$ o ${\displaystyle B(x)=ax-k}$, un binomio di primo grado^[3]. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1810.

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

• Divisione (matematica)
• Polinomio
• Regola di Ruffini
• Teorema del resto