Dalam ilmu matematika, simetri turunan kedua adalah kemungkinan mengganti susunan pencarian turunan parsial suatu fungsi pada kondisi tertentu.
![{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1aecfa2ea390415dac1aa9b7f6b534c00e8d60)
Jika turunan parsial untuk
ditandai dengan
kecil, maka simetri turunan kedua adalah penegasan bahwa turunan parsial kedua
memenuhi identitas:
![{\displaystyle f_{ij}=f_{ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212ed9b9cc86bfba34ae8af510516950917e1fd0)
sehingga mereka membentuk n × n matriks simetri. Karakteristik ini juga disebut teorema Schwarz, teorema Clairaut atau teorema Young.[1][2]
Dalam konteks persamaan diferensial parsial, simetri turunan kedua disebut kondisi integrabilitas Schwarz.
Pernyataan simetri secara formil
Simetri ini dapat ditulis sebagai berikut:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a403600682f019376833a3fbada121b511f9f61d)
Ekspresi lain yang dapat digunakan adalah:
![{\displaystyle \partial _{xy}f=\partial _{yx}f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d81f54251b54c705042a0a9918aa8e85f86645)
Teorema Schwarz
Teorema Schwarz menyatakan bahwa jika
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6991fd928a18a993d719e93137af6240a9b6545a)
memiliki turunan parsial kedua kontinu pada titik manapun di
, misalnya,
maka
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62672772c7724186fa661c67404cfc8eee25b832)
Catatan kaki
- ^ "Salinan arsip" (PDF). Archived from the original on 2006-05-18. Diakses tanggal 2017-11-26. Pemeliharaan CS1: Url tak layak (link)
- ^ Allen, R. G. D. (1964). Mathematical Analysis for Economists. New York: St. Martin's Press. hlm. 300–305.
Bacaan lanjut
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4