Kesetaraan Morita

Dalam aljabar abstrak, Kesetaraan Morita adalah hubungan yang didefinisikan antara gelanggang yang mempertahankan banyak sifat teori gelanggang. Nama rumus ini dinamai oleh matematikawan asal Jepang Kiiti Morita yang mendefinisikan kesetaraan dan gagasan serupa tentang dualitas pada tahun 1958.

Motivasi

Gelanggang biasanya dipelajari dalam istilah modul, as modul dapat dilihat sebagai representasi gelanggang. Setiap gelanggang R memiliki R alami struktur modul pada dirinya sendiri di mana tindakan modul didefinisikan sebagai perkalian di dalam gelanggang, jadi pendekatan melalui modul lebih umum dan memberikan informasi yang berguna. Because of this, one often studies a ring by studying the category of modules over that ring. Kesetaraan Morita membawa sudut pandang ini ke kesimpulan alami dengan mendefinisikan cincin menjadi setara Morita jika kategori modul mereka adalah setara. Gagasan ini hanya menarik ketika berhadapan dengan gelanggang nonkomutatif, karena dapat ditunjukkan bahwa dua cincin komutatif adalah ekuivalen Morita jika dan hanya jika keduanya isomorfik.

Definisi

Dua gelanggang R dan S (asosiatif, dengan 1) dikatakan (Morita) setara jika ada persamaan kategori (kiri) modul di atas R , R-Mod , dan kategori modul (kiri) di atas S , S-Mod . Dapat ditunjukkan bahwa kategori modul kiri R-Mod dan S-Mod adalah setara jika dan hanya jika kategori modul kanan Mod-R dan Mod-S adalah setara. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa setiap functor dari R-Mod hingga S-Mod yang menghasilkan kesetaraan secara otomatis additive.

Kriteria kesetaraan

Persamaan dapat dikarakterisasi sebagai berikut: if F:R-Mod → {\displaystyle \to } S-Mod and G:S-Mod → {\displaystyle \to } R-Mod adalah aditif (kovarian) functors, maka F dan G adalah padanan jika dan hanya jika ada keseimbangan (S,R)-bimodule P seperti SP dan PR adalah dihasilkan secara terbatas proyektif generator dan ada isomorfisme alami dari fungtornya F ⁡ ( − ) ≅ P ⊗ R − {\displaystyle \operatorname {F} (-)\cong P\otimes _{R}-} , dan dari para funktor G ⁡ ( − ) ≅ Hom ⁡ ( S P , − ) . {\displaystyle \operatorname {G} (-)\cong \operatorname {Hom} (_{S}P,-).} Generator proyektif yang dihasilkan secara tak terbatas juga kadang-kadang disebut progenerator untuk kategori modulnya.[1]

Untuk setiap kanan-tepat functor F dari kategori kiri - R modul ke kategori kiri - S modul yang bolak-balik dengan jumlah langsung, Teorema aljabar homologis menunjukkan bahwa ada (S, R) - bimodule E sehingga funktor F ⁡ ( − ) {\displaystyle \operatorname {F} (-)} secara alami isomorfik ke funktor E ⊗ R − {\displaystyle E\otimes _{R}-} . Karena kesetaraan dengan kebutuhan tepat dan bolak-balik dengan jumlah langsung, ini menyiratkan bahwa R dan S adalah Morita setara jika dan hanya jika ada bimodule RMS dan SNR sehingga M ⊗ S N ≅ R {\displaystyle M\otimes _{S}N\cong R} sebagai (R,R) bimodul dan N ⊗ R M ≅ S {\displaystyle N\otimes _{R}M\cong S} sebagai (S, S) bimodules. Selain itu, N dan M terkait melalui isomorfisma bimodule (S, R) : N ≅ Hom ⁡ ( M S , S S ) {\displaystyle N\cong \operatorname {Hom} (M_{S},S_{S})} .

Lebih konkret, dua cincin R dan S adalah Morita setara jika dan hanya jika S ≅ End ⁡ ( P R ) {\displaystyle S\cong \operatorname {End} (P_{R})} untuk modul progenerator PR,[2]

S ≅ e M n ( R ) e {\displaystyle S\cong e\mathbb {M} _{n}(R)e}

(isomorfisma cincin) untuk beberapa bilangan bulat positif n dan idempotensi penuh e di cincin matriks Mn(R).

Diketahui bahwa jika R adalah Morita setara dengan S , maka cincin C ( R ) isomorfik ke gelanggang C ( S ), R/J(R) adalah Morita setara dengan S/J(S), di mana J (-) menunjukkan radikal Jacobson.

Sementara cincin isomorfik setara Morita, cincin setara Morita bisa nonisomorfik. Contoh mudahnya adalah bahwa gelanggang pembagian D adalah Morita yang setara dengan semua gelanggang matriksnya Mn(D), tetapi tidak bisa menjadi isomorfik bila n > 1. Dalam kasus khusus cincin komutatif, cincin ekivalen Morita sebenarnya isomorfik. Ini segera mengikuti dari komentar di atas, karena jika R adalah Morita setara dengan S , R = C ⁡ ( R ) ≅ C ⁡ ( S ) = S {\displaystyle R=\operatorname {C} (R)\cong \operatorname {C} (S)=S} .

Signifikansi dalam teori-K

Jika dua Gelanggang setara dengan Morita, Ada persamaan induksi dari masing-masing kategori modul proyektif karena kesetaraan Morita akan mempertahankan urutan yang tepat (dan karenanya modul proyektif). Karena teori-K aljabar sebuah cincin ditentukan (dalam Pendekatan Quillen) dalam hal grup homotopi dari (kira-kira) ruang klasifikasi dari saraf dari kategori (kecil) modul proyektif yang dihasilkan secara halus di atas gelanggang, Cincin ekuivalen Morita harus memiliki gugus-K isomorfik.

Referensi

  1. ^ DeMeyer & Ingraham (1971) p.6
  2. ^ DeMeyer & Ingraham (1971) p.16
  • Morita, Kiiti (1958). "Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition". Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A. 6 (150): 83–142. ISSN 0371-3539. Zbl 0080.25702. 
  • DeMeyer, F.; Ingraham, E. (1971). Separable algebras over commutative rings. Lecture Notes in Mathematics. 181. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl 0215.36602. 
  • Anderson, F.W.; Fuller, K.R. (1992). Rings and Categories of Modules. Graduate Texts in Mathematics. 13 (edisi ke-2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97845-3. Zbl 0765.16001. 
  • Lam, T.Y. (1999). Lectures on Modules and Rings. Graduate Texts in Mathematics. 189. New York, NY: Springer-Verlag. Chapters 17-18-19. ISBN 978-1-4612-6802-4. Zbl 0911.16001. 
  • Meyer, Ralf. "Morita Equivalence In Algebra And Geometry". CiteSeerX 10.1.1.35.3449 alt=Dapat diakses gratis. 

Bacaan lebih lanjut

  • Reiner, I. (2003). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series. 28. Oxford University Press. hlm. 154–169. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.