Propagátor

A kvantummechanikában és a kvantumtérelméletben a propagátor a hullámfüggvény időfejlődéséhez kapcsolódik. A propagátor egy részecskének egyik helyről a másikra való – adott idő alatti – mozgásának, vagy bizonyos energiával és impulzussal való mozgásnak az amplitúdóját adja meg. Fogalma szorosan kapcsolódik az időfejlesztő operátorához és a Green-függvényhez.

A propagátorok matematikája

Tekintsünk egy tetszőleges ${\displaystyle |\psi \rangle }$ állapotot a t időpontban. Ekkor t'-beli állapotot a ${\displaystyle U(t,t')|\psi \rangle }$ vektor fogja leírni, ahol a ${\displaystyle U(t,t')}$ a t-ből t'-be való időfejlődés unitér operátora. Amennyiben a rendszer invariáns az időeltolásra (azaz az energiája megmarad), akkor ${\displaystyle U(t,t')=U(|t'-t|)}$.

A propagátor és az időfejlesztő operátor kapcsolata következő:

Tekintsük a következő nemrelativisztikus disztribúció-értelemben vett egyenletet:

${\displaystyle \left(H_{x}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x't')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t,t')}$

ahol ${\displaystyle H_{x}}$ a rendszer Hamilton-operátora koordinátareperezentációban, ${\displaystyle \delta }$ pedig Dirac-delta. Ekkor ${\displaystyle K(x,t;x't')}$ egyrészt a differenciálegyenlet Green-függvénye, másrészt a rendszer propagátora, mert ${\displaystyle K(x,t;x't')}$ pontosan a részecske (x,t)→(x',t') mozgásának amplitúdóját írja le. Az egyenletből látszik, hogy amennyiben a rendszer állapota t-ben nem teljesen az x-be koncentrált, hanem tetszőleges ${\displaystyle |\psi \rangle }$ hullámfüggvény, akkor a rendszer állapotát t'-ben a következő egyenlet definiálja:

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'}$

ami a fentebb már említett időeltolás-invariáns esetben egy konvolúcióvá egyszerűsödik, azaz az ${\displaystyle U}$ időfejlesztő operátor a ${\displaystyle K}$-val vett konvolúció operátorává válik.

Források

• angol szócikk
• Feynman and Hibbs: Quantum Mechanics and Path Integrals