Harmonikus szám

Nem tévesztendő össze a következővel: osztóharmonikus számok.

A matematikában az n-edik harmonikus szám az első n pozitív egész szám reciprokának az összege:

H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

Ez egyébként egyenlő ezen számok harmonikus közepe reciprokának az n-szeresével.

Harmonikus szám H n , 1 {\displaystyle H_{n,1}} , n = ⌊ x ⌋ {\displaystyle n=\lfloor {x}\rfloor } (vörös vonal) és az aszimptotikus korlátja γ + ln ⁡ [ x ] {\displaystyle \gamma +\ln[x]} (kék vonal)

A harmonikus számokat már az ókorban is tanulmányozták, és a számelméletben fontos szerepet töltenek be. A harmonikus sor részletösszegei, és szorosan kapcsolódnak a Riemann-féle zéta-függvényhez. Amikor egy nagy volumenű mennyiség a Zipf-törvény szerinti eloszlást mutat, a legértékesebb tétel az n-edik harmonikus. Ez számos meglepő eredményhez vezet a hosszú farok- és a hálózatelméletben.

Képletek

Az integrállal történő kifejezés Eulertől ered:

H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x . {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}

A fenti egyenlőség nyilvánvalóan következik az alábbi egyenlőségből:

1 − x n 1 − x = 1 + x + ⋯ + x n − 1 {\displaystyle \quad {\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}}

Elegáns kombinatorikai kifejezés nyerhető H n {\displaystyle \,H_{n}} -re, felhasználva egy egyszerű transzformációt: x = 1 − u {\displaystyle \,x=1-u} :

H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x = − ∫ 1 0 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 [ ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) u k − 1 ] d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) ∫ 0 1 u k − 1 d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx=-\int _{1}^{0}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}

Hasonló kifejezés nyerhető a harmadik Retkes-azonosság felhasználásával:

x 1 = 1 , … , x n = n {\displaystyle x_{1}=1,\ldots ,x_{n}=n} , és felhasználva a tényt: Π k ( 1 , … , n ) = ( − 1 ) n − k ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! {\displaystyle \Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!} .

H n = H n , 1 = ∑ k = 1 n 1 k = ( − 1 ) n − 1 n ! ∑ k = 1 n 1 k 2 Π k ( 1 , … , n ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) {\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}}

Hn közel úgy nő, mint az n természetes logaritmusa. Ennek az oka, hogy az összeg közelíthető egy integrállal:

∫ 1 n 1 x d x {\displaystyle \int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx}

melynek értéke: ln(n).

Hn - : ln(n) sor monoton csökken a korlátja felé:

lim n → ∞ ( H n − ln ⁡ n ) = γ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma }

(ahol γ az Euler–Mascheroni-konstans: 0,5772156649...), és a megfelelő aszimptotikus kiterjesztés, amint n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } :

H n ∼ ln ⁡ n + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k = ln ⁡ n + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − ⋯ {\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots }

ahol B k {\displaystyle B_{k}} a Bernoulli-számok.

Generáló függvények

A harmonikus számok generáló függvénye:

∑ n = 1 ∞ z n H n = − ln ⁡ ( 1 − z ) 1 − z , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}

ahol ln ⁡ ( z ) {\displaystyle \ln(z)} a természetes logaritmus. Egy exponenciális generáló függvény: ∑ n = 1 ∞ z n n ! H n = − e z ∑ k = 1 ∞ 1 k ( − z ) k k ! = e z Ein ( z ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)}

ahol Ein ( z ) {\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)} a teljes exponenciális integrál.

Megjegyezzük, hogy:

Ein ( z ) = E 1 ( z ) + γ + ln ⁡ z = Γ ( 0 , z ) + γ + ln ⁡ z {\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)={\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z\,}

ahol Γ ( 0 , z ) {\displaystyle \Gamma (0,z)} az inkomplett gamma-függvény.

Alkalmazások

A harmonikus számok számos alkalmazásban megtalálhatók, mint például a digamma-függvénynél: ψ ( n ) = H n − 1 − γ . {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .\,} Ezt a kifejezést gyakran használják harmonikus számok kiterjesztésénél nem egész n-re. A harmonikus számokat gyakran használják a γ meghatározásához, felhasználva az előző fejezetben bevezetett korlátot:

γ = lim n → ∞ ( H n − ln ⁡ ( n + 1 2 ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}}

mely gyorsabban konvergál.

2002-ben Jeffrey Lagarias bebizonyította, hogy a Riemann-hipotézis egyenlő a következő állítással:

σ ( n ) ≤ H n + ln ⁡ ( H n ) e H n , {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}},}

igaz minden n ≥ 1 egész számra; szigorú egyenlőtlenséggel, ha n > 1. Itt σ(n) az n osztó összege.

Általánosítás

Az általánosított harmonikus szám:

H n , m = ∑ k = 1 n 1 k m . {\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}

n a végtelenbe tart, ha m > 1 {\displaystyle m>1} . Más kifejezésben:

H n , m = H n ( m ) = H m ( n ) . {\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).}

A speciális esetben, amikor m = 1 {\displaystyle m=1} , csak egyszerűen harmonikus számnak hívják, és gyakran index nélkül jelölik, mint itt:

H n = ∑ k = 1 n 1 k . {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}

Ha a korlát n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } , az általánosított harmonikus szám a Riemann-féle zéta-függvényhez konvergál:

lim n → ∞ H n , m = ζ ( m ) . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}

Az általánosított harmonikus számok generáló függvénye:

∑ n = 1 ∞ z n H n , m = L i m ( z ) 1 − z , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\mathrm {Li} _{m}(z)}{1-z}},}

ahol L i m ( z ) {\displaystyle \mathrm {Li} _{m}(z)} a polilogaritmus és |z| < 1. A fent megadott képletnél az m=1 egy speciális eset.

Irodalom

  • Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn: A Stirling Encounter with Harmonic Numbers. (hely nélkül): Mathematics Magazine, 75 (2). 2002.  
  • Peter Paule and Carsten Schneider: Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities. (hely nélkül): Adv. in Appl. Math. 31 (2). 2003. 359–378. o.  
  • Zoltán Retkes: An Extension of the Hermite–Hadamard Inequality. (hely nélkül): Acta Sci. Math. (Szeged). 2008. 95–106. o.  

Kapcsolódó szócikkek