Trident de Newton

Trident d'équation y = x²+1/x

Le trident de Newton est une courbe plane étudiée par Isaac Newton. On la nomme parfois parabole de Descartes (bien que ce ne soit pas une parabole).

Classification des cubiques

Dans une étude menée en 1676 mais publiée en 1704, Newton cherche à classifier toutes les courbes cubiques, c’est-à-dire les courbes planes dont l'équation est de la forme :

a x 3 + b x 2 y + c x y 2 + d y 3 + e x 2 + f x y + g y 2 + h x + i y + j = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}y+cxy^{2}+dy^{3}+ex^{2}+fxy+gy^{2}+hx+iy+j=0\,}

Il en dénombre 72 types que l'on peut ranger dans quatre classes par des changements de repère appropriés :

  1. les courbes d'équation x y 2 + e y = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle xy^{2}+ey=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
  2. les courbes d'équation x y = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
  3. les courbes d'équation y 2 = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle y^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
  4. les courbes d'équation y = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}

Les tridents de Newton sont les courbes de type (2)

Équation cartésienne

Les tridents de Newton ont pour équation cartésienne canonique :

x y = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}

où a et d sont non nuls.

Analyse

Domaine de définition

Les tridents de Newton ne sont pas définis en 0. Leur domaine de définition est donc :

D f = R ∗ {\displaystyle D_{f}=\mathbb {R} ^{*}}

Dérivée

Ce sont des fonctions rationnelles. Elles sont donc dérivables sur D f {\displaystyle D_{f}} , et leur dérivée est :

f ′ ( x ) = 2 a x + b − d x 2 {\displaystyle f^{'}(x)=2ax+b-{\frac {d}{x^{2}}}}

Limites

Limite en l'infini

En l'infini, les tridents de Newton tendent ou bien vers + ∞ {\displaystyle +\infty } , ou bien vers − ∞ {\displaystyle -\infty } .

Si a>0 alors lim x → ± ∞ f ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty } .

Si a<0 alors lim x → ± ∞ f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty } .

Limites en 0

En 0, les tridents de Newton tendent vers + ∞ {\displaystyle +\infty } ou − ∞ {\displaystyle -\infty } .

Si d>0 alors lim x → 0 + f ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty } et lim x → 0 − f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty } .

Si d<0 alors lim x → 0 + f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty } et lim x → 0 − f ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty } .

Asymptotes

Ils ont pour asymptotes la parabole d'équation

y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}

ainsi que l'hyperbole d'équation

y = d x {\displaystyle y={\frac {d}{x}}}

Intersection avec l'axe des abscisses

On dénombre entre un et trois points d'intersection entre un trident de Newton et l'axe des abscisses selon la valeur des coefficients a, b, c, d.

Lien avec le folium de Descartes

Le changement de variable

x = X Y {\displaystyle x={\frac {X}{Y}}} et y = 1 Y {\displaystyle y={\frac {1}{Y}}}

Conduit à une équation de la forme :

X Y = a X 3 + b X 2 Y + c X Y 2 + d Y 3 {\displaystyle XY=aX^{3}+bX^{2}Y+cXY^{2}+dY^{3}\,}

En particulier, la courbe d'équation y = x 2 + 1 x {\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{x}}} est alors transformée en un folium de Descartes

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

  • Trident de Newton, sur Wikimedia Commons

Articles connexes

  • Isaac Newton
  • Fonction (mathématiques)

Liens externes

  • (en) Liste de courbes connues
  • (en) Un applet Java de simulation de Tridents
  • (fr) Le trident de Newton (explications)
  • (en) Page sur les tridents
  • (en) Comparaison entre les tridents de Newton et ceux de Descartes
  • icône décorative Portail de la géométrie