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En mathématiques , les polynômes de Laguerre , nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre :
x y ″ + ( 1 − x ) y ′ + n y = 0 {\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,} qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville :
− d d x ( x e − x d y d x ) = n e − x y . {\displaystyle -{{\rm {d}} \over {\rm {d}}x}\left(x{\rm {e}}^{-x}{{\rm {d}}y \over {\rm {d}}x}\right)=n{\rm {e}}^{-x}y.}
Cette équation a des solutions non singulières seulement si n Ln polynômes orthogonaux dans L2 (ℝ+ , e–x dx ), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une base orthonormée . Ils forment même une base de Hilbert de L2 (ℝ+ , e–x dx ).
Cette suite de polynômes peut être définie par la formule de Rodrigues
L n ( x ) = e x n ! d n d x n ( e − x x n ) . {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\right).} La suite des polynômes de Laguerre est une suite de Sheffer.
Les polynômes de Laguerre apparaissent en mécanique quantique dans la partie radiale de la solution de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron[ 1]
Le coefficient dominant de Ln (–1)n n ! . Les physiciens utilisent souvent une définition des polynômes de Laguerre où ceux-ci sont multipliés par (–1)n n ! , obtenant ainsi des polynômes unitaires .
Les premiers polynômes Voici les premiers polynômes de Laguerre :
n L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)\,} 0 1 {\displaystyle 1\,} 1 − x + 1 {\displaystyle -x+1\,} 2 1 2 ( x 2 − 4 x + 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(x^{2}-4x+2)\,} 3 1 6 ( − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,} 4 1 24 ( x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,} 5 1 120 ( − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,} 6 1 720 ( x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2400 x 3 + 5400 x 2 − 4320 x + 720 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}
Les six premiers polynômes de Laguerre Propriétés Transformée de Laplace des polynômes de Laguerre dans ℝ+ En désignant H (x )fonction de Heaviside , on a l'égalité :
L { H ( x ) L n ( x ) } = L { H ( x ) e x n ! d n d x n ( e − x x n ) } = n ! z ( z − 1 z ) n {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{H(x)L_{n}(x)\right\}={\mathcal {L}}\left\{H(x){\frac {\mathrm {e} ^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\right)\right\}={\frac {n!}{z}}\left({\frac {z-1}{z}}\right)^{n}} Série génératrice La série génératrice pour les polynômes de Laguerre est ∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n n ! = e − x t / ( 1 − t ) 1 − t {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,={\frac {{\rm {e}}^{-xt/(1-t)}}{1-t}}}
Démonstration
Calculons tout d'abord la transformée de Laplace de la fonction génératrice des polynômes de Laguerre:
L { ∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n n ! } = ∑ n = 0 ∞ L { L n ( x ) } t n n ! = ∑ n = 0 ∞ n ! z ( z − 1 z ) n t n n ! = 1 z ∑ n = 0 ∞ ( t − t z ) n {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {L}}\{L_{n}(x)\}{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{z}}\left({\frac {z-1}{z}}\right)^{n}{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(t-{\frac {t}{z}}\right)^{n}} La convergence de cette série est assurée pour | t − t z | < 1 {\displaystyle \left|t-{\frac {t}{z}}\right|<1}
∑ n = 0 ∞ ( t − t z ) n = lim n → ∞ 1 − ( t − t z ) n + 1 1 − ( t − t z ) = 1 1 − t + t z {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(t-{\frac {t}{z}}\right)^{n}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1-(t-{\frac {t}{z}})^{n+1}}{1-(t-{\frac {t}{z}})}}={\frac {1}{1-t+{\frac {t}{z}}}}} Donc
L { ∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n n ! } = 1 z 1 1 − t + t z = 1 1 − t 1 z + t 1 − t = 1 1 − t L { e − x t 1 − t } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}={\frac {1}{z}}{\frac {1}{1-t+{\frac {t}{z}}}}={\frac {1}{1-t}}{\frac {1}{z+{\frac {t}{1-t}}}}={\frac {1}{1-t}}{\mathcal {L}}\left\{{\rm {e}}^{-x{\frac {t}{1-t}}}\right\}} L { e − a x } = 1 z + a {\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\rm {e}}^{-ax}\}={\frac {1}{z+a}}} On en déduit finalement
∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n n ! = 1 1 − t e − x t 1 − t {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{1-t}}{\rm {e}}^{-x{\frac {t}{1-t}}}}
Équations diverses Le n -ième polynôme de Laguerre satisfait l'équation différentielle suivante :
x L n ″ ( x ) + ( 1 − x ) L n ′ ( x ) + n L n ( x ) = 0. {\displaystyle xL_{n}''(x)+(1-x)L_{n}'(x)+nL_{n}(x)=0.\,} On a aussi la suite récurrente suivante :
( n + 1 ) L n + 1 ( x ) + ( x − 2 n − 1 ) L n ( x ) + n L n − 1 ( x ) = 0. {\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)+(x-2n-1)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0.\,} Les polynômes respectent la propriété
x L n ′ ( x ) − n L n ( x ) + n L n − 1 ( x ) = 0. {\displaystyle xL_{n}'(x)-nL_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0.\,} Expression par une intégrale de contour Les polynômes peuvent être exprimés en termes d'une intégrale de contour
L n ( x ) = 1 2 π i ∮ e − x t / ( 1 − t ) ( 1 − t ) t n + 1 d t {\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\oint {\frac {{\rm {e}}^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\,{\rm {d}}t} où le contour entoure l'origine une fois dans le sens trigonométrique.
Polynômes de Laguerre généralisés La propriété d'orthogonalité évoquée plus haut revient à dire que si X est une variable aléatoire distribuée exponentiellement avec la fonction densité de probabilité
f ( x ) = { e − x si x > 0 , 0 si x < 0 , {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\rm {e}}^{-x}&{\mbox{si}}\ x>0,\\0&{\mbox{si}}\ x<0,\end{matrix}}\right.} alors
E ( L n ( X ) L m ( X ) ) = 0 si n ≠ m . {\displaystyle \mathbb {E} (L_{n}(X)L_{m}(X))=0\ {\mbox{si}}\ n\neq m.} La distribution exponentielle n'est pas la seule distribution Gamma . Une suite de polynômes orthogonaux par rapport à la distribution gamma dont la fonction densité de probabilité est, pour α > –1
f ( x ) = { x α e − x / Γ ( 1 + α ) si x > 0 , 0 si x < 0 , {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }{\rm {e}}^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{si}}\ x>0,\\0&{\mbox{si}}\ x<0,\end{matrix}}\right.} (cf. fonction gamma ) est donnée par la formule de Rodrigues pour les polynômes de Laguerre généralisés :
L n ( α ) ( x ) = x − α e x n ! d n d x n ( e − x x n + α ) . {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }{\rm {e}}^{x} \over n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left({\rm {e}}^{-x}x^{n+\alpha }\right).} Ils sont parfois appelés les polynômes de Laguerre associés . On retrouve les polynômes de Laguerre simples en prenant α = 0
L n ( 0 ) ( x ) = L n ( x ) . {\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).} Les polynômes de Laguerre généralisés sont orthogonaux sur [0 , ∞[ par rapport à la fonction de poids xα e–x
∫ 0 ∞ e − x x α L n ( α ) ( x ) L m ( α ) ( x ) d x = Γ ( n + α + 1 ) n ! δ n m . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-x}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x){\rm {d}}x={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{nm}.} Les polynômes de Laguerre généralisés obéissent à l'équation différentielle
x L n ( α ) ′ ′ ( x ) + ( α + 1 − x ) L n ( α ) ′ ( x ) + n L n ( α ) ( x ) = 0. {\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0.\,} Exemples de polynômes de Laguerre généralisés Les premiers polynômes de Laguerre généralisés sont
L 0 ( α ) ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1} L 1 ( α ) ( x ) = − x + α + 1 {\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1} L 2 ( α ) ( x ) = x 2 2 − ( α + 2 ) x + ( α + 2 ) ( α + 1 ) 2 {\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}} L 3 ( α ) ( x ) = − x 3 6 + ( α + 3 ) x 2 2 − ( α + 2 ) ( α + 3 ) x 2 + ( α + 1 ) ( α + 2 ) ( α + 3 ) 6 {\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}} Dérivées des polynômes de Laguerre généralisés Le calcul de la dérivée d'ordre k de la représentation en série d'un polynôme de Laguerre généralisé fois conduit à
d k d x k L n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) k L n − k ( α + k ) ( x ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x).} Relation aux polynômes d'Hermite Les polynômes de Laguerre généralisés apparaissent dans le traitement de l'oscillateur harmonique quantique , à cause de leur relation aux polynômes d'Hermite , qui peuvent être exprimés par
H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n n ! L n ( − 1 / 2 ) ( x 2 ) {\displaystyle H_{2n}(x)=(-1)^{n}\,2^{2n}n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})} et
H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 2 2 n + 1 n ! x L n ( 1 / 2 ) ( x 2 ) {\displaystyle H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}\,2^{2n+1}n!\,xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})} où les H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} polynômes d'Hermite .
Relation aux fonctions hypergéométriques Les polynômes de Laguerre peuvent être reliés aux fonctions hypergéométriques , plus précisément à la fonction hypergéométrique confluente , par
L n ( α ) ( x ) = ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , x ) = ( α + 1 ) n n ! 1 F 1 ( − n , α + 1 , x ) {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)} où ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} symbole de Pochhammer (qui, dans ce cas particulier, est utilisé pour représenter la factorielle croissante a ( a + 1 ) ( a + 2 ) . . . ( a + n − 1 ) {\displaystyle a(a+1)(a+2)...(a+n-1)}
Notes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Laguerre polynomials » (voir la liste des auteurs) .
↑ (en) The Legendre and Laguerre Polynomials & the Elementary Quantum Mechanical Model of the Hydrogen Atom, par Timothy Jones Voir aussi Liens externes Bibliographie (en) George Arfken et Hans Weber, Mathematical Methods for Physicists , Academic Press , 2000 (ISBN 0-12-059825-6 )
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