Formule de Héron

Ne doit pas être confondu avec Méthode de Héron.

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, portant le nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire S d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs a, b et c de ses trois côtés :

S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\quad {\text{avec}}\quad p={\frac {a+b+c}{2}}.

La formule était déjà connue d'Archimède^[1].

Démonstrations

Héron d'Alexandrie énonce et démontre son théorème dans son traité Les Métriques. Sa démonstration s'appuie sur les propriétés du cercle inscrit dans un triangle et sur l'exploitation des rapports de longueurs dans des triangles semblables^[2].

Les propriétés trigonométriques permettent une démonstration plus courte de cette égalité.

Ainsi, la formule de Héron peut se déduire de manière algébrique de la loi des cosinus ^[3].

Démonstration à l'aide de la loi des cosinus

La loi des cosinus s'écrit $2ab\cos \gamma =a^{2}+b^{2}-c^{2},$

jointe à la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents : ${\begin{aligned}S&={\frac {ab}{2}}\sin \gamma \\&={\frac {2ab}{4}}{\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2ab(1+\cos \gamma )2ab(1-\cos \gamma )}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}.\end{aligned}}$

Puis, en notant, p = a + b + c/2 le demi-périmètre, on conclut : $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2p(2p-2c)(2p-2b)(2p-2a)}}={\sqrt {p(p-c)(p-b)(p-a)}}.$

Il existe beaucoup d'autres démonstrations : voir notamment l'article « Loi des cotangentes ».

Il existe également un moyen simple de retrouver la formule de Héron par des considérations sur la forme que doit prendre le polynôme S² en exploitant les propriétés des triangles plats, les propriétés d'homogénéité et de symétrie^[4].

Recherche par analyse dimensionnelle

L'aire du triangle dépend de la longueur des 3 côtés : S(a,b,c), et ces trois variables ont exactement la même importance (il y a symétrie).

Si on suppose comme acquis que le carré de l'aire est un polynôme en (a,b,c), ce polynôme est symétrique. Par analyse dimensionnelle, on sait que ce polynôme est de degré 4 car c'est le carré d'une aire, et que le polynôme est homogène.

De plus l'aire s'annule seulement quand le triangle est plat, c'est-à-dire quand la somme des longueurs de deux des côtés égale la longueur du troisième. Il y a donc trois façons d'annuler le polynôme.

Le polynôme S² est alors de la forme

S^{2}(a,b,c)=k\times (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c).

Or comme S² est symétrique homogène de degré 4, k est un polynôme symétrique et homogène de degré 1 de la forme k = C(a+b+c) avec C une constante réelle à déterminer.

Pour trouver C, on regarde un cas particulier qui est celui du triangle rectangle isocèle. On a alors S = a²/2, a = b et $c=a{\sqrt {2}}$ , ce qui donne

{\frac {a^{4}}{4}}=C\left(2a+{\sqrt {2}}a\right)\left(2a-{\sqrt {2}}a\right)\left({\sqrt {2}}a\right)^{2}=C(4a^{2}-2a^{2})(2a^{2})

donc C = 1/16.

On a donc $S^{2}(a,b,c)={\frac {1}{16}}(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)$ .

On retrouve alors la formule démontrée par trigonométrie plus haut en remplaçant p par ${\frac {a+b+c}{2}}$ .

Autres écritures de la formule

À l'aide de polynômes symétriques

D'après les calculs intermédiaires ci-dessus, on a aussi : ${\begin{aligned}16\,S^{2}&=(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)\\&=2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}).\end{aligned}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.$

Sous forme d'un déterminant

On a : $16S^{2}=-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}$ (déterminant de Cayley-Menger).

Pour une mise en œuvre numérique

La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).

En choisissant les noms de côtés de telle sorte que $a>b>c$ , et en réorganisant les termes de façon à optimiser les grandeurs ajoutées ou soustraites, William Kahan propose une formule plus stable^[5] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+(b+c)\right)\,\left(c-(a-b)\right)\,\left(c+(a-b)\right)\,\left(a+(b-c)\right)}}.$

Application à l'inégalité isopérimétrique pour le triangle

D'après l'inégalité arithmético-géométrique, ${\frac {p}{3}}={\frac {(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}}\geqslant {\sqrt[{3}]{(p-a)(p-b)(p-c)}}$ .

De la formule de Héron, on déduit $S^{2}\leqslant p.{\frac {p^{3}}{27}}={\frac {p^{4}}{27}}$ , d'où l'inégalité isopérimétrique : $S\leqslant {\frac {p^{2}}{3{\sqrt {3}}}}$ .

Il y a égalité ssi $p-a=p-b=p-c$ , autrement dit ssi le triangle est équilatéral.

Généralisations

La formule de Brahmagupta permet de déterminer l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle en ne connaissant que la longueur de ses côtés.

En géométrie sphérique

En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.

Pour les quadrilatères

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : Formule de Bretschneider et Formule de Brahmagupta.

Pour les tétraèdres

Le volume d'un tétraèdre est donné en fonction de la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger ^[6].

Notes et références

↑ (en) Thomas L. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. II, Oxford University Press, 1921, p. 321-323.
↑ Pour une étude détaillée de sa démonstration voir (en) Christy Williams, Crystal Holcomb et Kayla Gifford, « Héron's Formula for triangular aera », sur Université du Kentucky.
↑ Mohammed AASSILA, 1000 challenges mathématiques, géométrie, Ellipses, 2018, 25 p., p. 365
↑ .Exercices de maths -CSK - 2017/2018, Exercice 14, sur le site animath.fr
↑ (en) W. Kahan, « Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle », sur UC Berkeley, 2014.
↑ Voir aussi « Déterminants de Cayley-Menger », sur mathafou.free.fr.

Voir aussi

Liens externes

Michel Hort, « La formule de Héron », sur le-triangle-et-ses-calculs.ch
(en) Eric W. Weisstein, « Heron's formula », sur MathWorld
(en) A. Bogomolny, « Heron's Formula », sur Cut The Knot
(en) [vidéo] Mathologer, Heron’s formula: What is the hidden meaning of 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3 ? sur YouTube

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron