Éclatement (mathématiques)

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En mathématiques, un éclatement est un type d'application birationnelle entre variétés analytiques (en) ou algébriques

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

qui est un isomorphisme en dehors de sous-variétés propres

${\displaystyle E\subset X,\ D\subset Y.}$

Le cas le plus simple est celui où D est un point ; E est alors un diviseur isomorphe à un espace projectif.

Exemple

L'éclatement de l'origine dans ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$ s'obtient de la façon suivante. Soit P^{n – 1} l'espace projectif de dimension n – 1 muni de coordonnées ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$. Soit ${\displaystyle X}$ le sous-ensemble de Cⁿ × P^{n – 1} défini par les équations ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$ pour i, j = 1, ..., n. La projection

${\displaystyle \pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}$

induit une application

${\displaystyle f:X\to \mathbf {C} ^{n}}$

qui est un éclatement de l'origine.

Références

• (en) Phillip Griffiths et Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, New York, John Wiley & Sons, 1978, 813 p. (ISBN 0-471-32792-1)
• (en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry [détail des éditions]

Voir aussi

Singularité (mathématiques)

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