Newtonen binomio

Matematiketan, Newtonen binomioa edo binomioaren teorema, binomio baten n-garren berretura, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, konbinazio-zenbakien bidez kalkulatzeko erabiltzen den teorema da. Formula honek ahalbidetzen du ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ berreketaren hedapena ${\displaystyle ax^{b}y^{c}}$ eran, non berretzaileak ${\displaystyle b,c\in \mathbb {N} }$ dira eta ${\displaystyle b+c=n}$ betetzen dutenak, eta termino bakoitzaren ${\displaystyle a}$ (zenbaki naturala) ${\displaystyle n}$ eta ${\displaystyle b}$-ren dependentea dena.

Teorema

Teorema honek definitzen du edozein ${\displaystyle x+y}$ binomioaren berreketak heda daitekeela gehiketa bategaz era honetan:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}}$

non ${\displaystyle {n \choose k}}$ koefiziente binomiala, ${\displaystyle n}$ berreturaren balioa den eta ${\displaystyle k}$ balio independentea n-garren baliora iritsi arte unitateka handitu egiten dena, honela definitzen den: ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.

Eta bestalde, kenketa baten berreketaren hedapena adierazteko, ${\displaystyle -y}$ ${\displaystyle y}$-ren ordez hartu behar da berreketa bakoitietan era honetan:

${\displaystyle (x-y)^{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{n-k}y^{k}}$

Adibideak

• ${\displaystyle n=2}$ bada: ${\displaystyle (a+b)^{2}={2 \choose 0}a^{2}+{2 \choose 1}ab+{2 \choose 2}b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

• ${\displaystyle n=3}$ bada: ${\displaystyle (a+b)^{3}={3 \choose 0}a^{3}+{3 \choose 1}a^{2}b+{3 \choose 2}ab^{2}+{3 \choose 3}b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$
• ${\displaystyle n=4}$ bada: ${\displaystyle (a+b)^{4}={4 \choose 0}a^{4}+{4 \choose 1}a^{3}b+{4 \choose 2}a^{2}b^{2}+{4 \choose 3}ab^{3}+{4 \choose 4}b^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}$

Frogapena

Dakigunez, ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ ${\displaystyle (a+b)(a+b)(a+b)...(a+b)}$ eran adierazi dezakegu ${\displaystyle n}$ aldiz ${\displaystyle (a+b)}$ biderkatuz. Biderketa hau garatzerakoan, ${\displaystyle a}$ edo ${\displaystyle b}$ aukeratu eta beste biderkagaiekin biderkatzen dira. Horrela, biderketa bakoitzerako batugai bat lortuko dugu, ${\displaystyle a}$-ren ${\displaystyle n-k}$-garren berreketa bider ${\displaystyle b}$-ren ${\displaystyle k}$-garren berreketa erakoak diren gaiak lortuko dira, hau da; ${\displaystyle k}$ aldiz ${\displaystyle b}$ errepikatu eta ${\displaystyle n-k}$ aldiz ${\displaystyle a}$. Espresio honen koefizienteak kalkulatzeko, zenbat modu ezberdinetan aukera ditzakegun ${\displaystyle k}$ biderkagaietan ${\displaystyle b}$ eta ${\displaystyle n-k}$ biderkagaietan ${\displaystyle a}$, hau da; Errepikatuzko konbinazio edo multi-aukeraren balioa kalkulatu behar da. ${\displaystyle b}$ eta ${\displaystyle a}$ zenbakien berreturei erreparatuz, konturatuko gara ${\displaystyle b}$-ak aukeratzeko moduak zenbatzearekin nahikoa dela, horietako bakoitzean ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle a}$ aukeratuko ditugulako. Badakigu ${\displaystyle n}$ aukeretatik ${\displaystyle k}$ aukeratzeko moduak Konbinazio (konbinatoria) direla, orduan, ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle a^{n-k}b^{k}}$-ren koefizientea dela badakigu.

Korolarioa ${\displaystyle n\geq 0}$ guztientzat

${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+...+{\tbinom {n}{n-1}}+{\tbinom {n}{n}}=2^{n}}$.

Frogapena:

Newtonen binomioaren formula hartuz eta ${\displaystyle a=b=1}$ eginez lortzen da.

${\displaystyle 2^{n}=(1+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}1^{n-k}1^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}1^{n-k+k}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}1^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}={\displaystyle {\tbinom {n}{0}}+{\tbinom {n}{1}}+...+{\tbinom {n}{n-1}}+{\tbinom {n}{n}}=2^{n}}}$

Binomioaren teorema orokorra (Newton)

Isaac Newtonek orokortu zuen Binomioaren teorema berretzaile errealetarako, serie infinitu batekin adierazita:

${\displaystyle {(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}}$, ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {R} }$, non ${\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r!}{(r-k)!k!}}}$

Teorema Multinomiala

Binomioaren teorema orokortu daiteke bi batugai baino gehiagoren arteko ${\displaystyle n}$-garren berreketak barneratzeko, modu honetan adierazita:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}$, non ${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$ koefiziente multinomialak dira.

Aplikazioak

Angelu anizkoitzen identitateak

Zenbaki konplexuetarako, binomioaren teorema Moivre Formularekin konbina daiteke, sinu eta koseno funtzioetarako angelu anitzeko identitateak emateko. De Moivre formularen arabera:

${\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos x+i\sin x)^{n}}$

Binomioaren teorema erabiliz, eskuineko aldearen adierazpena hedatua izan daiteke eta, ondoren, zati errealak eta irudimenezkoak angelu anizkoitzen formulak lortzeko ateratzen dira. Izan ere:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos ^{2}(x)+2i\cos(x)\sin(x)-\sin ^{2}(x)}$

Berdintasun hori De Moivreren formularekin alderatuz gero, argi dago:

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)}$

${\displaystyle \sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)}$

Horiek dira angelu bikoitzaren ohiko identitateak.

Antzera:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{3}=\cos ^{3}(x)+3i\cos ^{2}(x)\sin(x)-3\cos(x)\sin ^{2}(x)-i\sin ^{3}(x)}$

De Moivreren formularen enuntziatuarekin alderatuz, emaitzaren zati errealak eta irudikariak bereiztean:

${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}(x)-3\cos(x)\sin ^{2}(x)}$

${\displaystyle \sin(3x)=3\cos ^{2}(x)\sin(x)-\sin ^{3}(x)}$

Orokorki,

${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k=bakoitia}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(x)\sin ^{k}(x)}$

eta

${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k=bikoitia}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(x)\sin ^{k}(x)}$

Seriea ${\displaystyle e}$-rentzako:

${\displaystyle e}$ zenbakia ekuazio honen bidez definitzen da:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Adierazpen horri binomioaren teorema aplikatuz, ${\displaystyle e}$-rako serie infinitua lortzen dugu. Bereziki:

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{\binom {n}{1}}{\frac {1}{n}}+{\binom {n}{2}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\binom {n}{3}}{\frac {1}{n^{3}}}+...+{\binom {n}{n}}{\frac {1}{n^{n}}}.}$

Hau da batura horren k-garren terminoa:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)\cdot (n-k)!}{(n-k)!}}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$

${\displaystyle n}$ zenbakiak infinitura jotzen duenez ${\displaystyle (n\rightarrow \infty )}$, eskuinean dagoen adierazpen arrazionala 1era hurbiltzen da:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+a_{1}\cdot n^{k-1}+a_{2}\cdot n^{k-2}\cdots a_{k+2}\cdot n^{1}+a_{k+1}\cdot n^{0}}{n^{k}}}}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}}{n^{k}}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}\cdot n^{k-1}}{n^{k}}}\cdots \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{k+1}\cdot n^{0}}{n^{k}}}}$

${\displaystyle =1+0\cdots 0}$

${\displaystyle =1}$

Eta, beraz, n infinitura jotzen duenean, k-garren termino bakoitza honetara mugatzen da:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$

Horrek adierazten du serie infinitu gisa idatz daitekeela ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$

Historia

Isaac Newtoni egotzia, teorema Al-Karjík aurkitu zuen lehen aldiz 1000. urte inguruan. John Wallisen interpolazio eta estrapolazio metodoak arazo berrietara aplikatuz, Newtonek espresio polinomiko bat serie infinitu bihurtzen zuten adierazle orokortuen kontzeptuak erabili zituen. Horrela frogatu ahal izan zuen lehendik zeuden serie asko kasu partikularrak zirela, bai bereizketaz, bai integrazioz.

1664ko eta 1665eko neguan, Newtonek, Lincolnshiren bere etxean zegoenak, hedapen binomiala hedatu zuen n zenbaki arrazionala den kasuan eta hurrengo udazkenean, adierazlea zenbaki negatiboa denean. Bi kasuetarako aurkitu zen esamolde erresultantea termino amaigabeen serie bat zela.

Adierazle negatiboen kasuan, Newtonek Pascalen Triangeluaren forma mailakatua erabili zuen, Michael Stifel matematikari alemaniarrak bere Arithmetica Integra lanean azaldu zuena:

Forma honen azpian erraz ikusten da, j-garren elementuaren eta (j-1) -errengloi baten hamargarren elementuaren baturak azpian dagoen lerroaren j-garren elementua ematen duela emaitza gisa. Newtonek taula hau gorantz luzatu zuen, lerro batean j-garren elementuaren eta (j-1) rengloiaren -aurrekoaren gainetik dagoen elementuaren arteko aldea aurkituz, emaitza goiko lerro horren j-garren elementu gisa jarriz. Horrela, taula berri hau lortzeko gai izan zen:

Zenbaki-serieak amaierarik ez zuela ohartzean, Newtonek ondorioztatu zuen adierazle oso negatibo batentzat seriea infinitua dela adierazten duena; izan ere, batuketak (x+y) binomioa (1+x) adierazten bazuen, lortutako emaitza baliozkoa da x -1 eta 1 artean badago. N zenbaki arrazionala bada, lortutako patroia aztertuta, Newtonek koefiziente binomialak lortu ahal izan zituen 2/frakzio bakoitzeko. Kasu horretan, n = 1/2 bada, koefizienteak 1, -1/2, 1/8, -5/128 eta abar dira, eta Newtonek egiaztatu ahal izan zuen 1/2rako hedapena biderkatuz gero, berez, n = 1 kasua lortuko zuela.

Aurkikuntza horretatik aurrera, Newtonek intuizioa izan zuen amaigabeko serieekin lan egin zitekeela, adierazpen polinomiko finituekin bezala. Newtonek ez zuen inoiz teorema hau argitaratu. Wallisek egin zuen lehen aldiz 1685ean Algebran, aurkikuntza hau Newtoni egotziz. N = 2rako teorema binomikoa Euklidesen Elementuetan dago (300 a. C) eta «koefiziente binomial» terminoa Stifelek sartu zuen.

Ikus, gainera

• Pascalen hiruki

Kanpo estekak

• Datuak: Q26708
• Multimedia: Binomial theorem / Q26708