Linsenraum

Linsenräume sind geometrische Gebilde, die in der Mathematik vor allem in der 3-dimensionalen Topologie vorkommen. Sie sind die einfachste Klasse 3-dimensionaler geschlossener Mannigfaltigkeiten. Erstmals beschrieb sie 1908 Heinrich Tietze.^[1][2] Mit den von Tietze eingeführten Linsenräumen gelang es James Waddell Alexander 1919, eine Vermutung von Henri Poincaré zu widerlegen, da sie Beispiele für nicht-homöomorphe Räume mit gleicher Fundamentalgruppe liefern. Weiterhin waren Linsenräume die ersten Beispiele homotopieäquivalenter, aber nicht homöomorpher Mannigfaltigkeiten: Kurt Reidemeister entwickelte 1935 die später nach ihm benannte Reidemeister-Torsion, um den Homöomorphietyp von Linsenräumen zu unterscheiden.^[3]

Seien ${\displaystyle m,l_{j}}$ für ${\displaystyle j=1,\ldots ,d}$ natürliche Zahlen, so dass ${\displaystyle ggT(l_{j},m)=1}$ für alle ${\displaystyle j}$. Der Linsenraum ${\displaystyle L(m;l_{1},\ldots ,l_{d})}$ ist definiert als der Bahnenraum der durch die Formel

${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \times S^{2d-1}\to S^{2d-1}}$

${\displaystyle (k,(z_{1},\ldots ,z_{d}))\mapsto (z_{1}\cdot e^{2\pi ikl_{1}/m},\ldots ,z_{d}\cdot e^{2\pi ikl_{d}/m})}$

gegebenen freien Wirkung der zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ auf der Einheitssphäre ${\displaystyle S^{2d-1}\subset \mathbb {C} ^{d}}$.

Die Fundamentalgruppe des Linsenraums ${\displaystyle L(m;l_{1},\ldots ,l_{d})}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ unabhängig von ${\displaystyle l_{1},\ldots ,l_{d}}$.

Die Homologiegruppen berechnen sich wie folgt:

${\displaystyle H_{0}(L)=\mathbb {Z} ,H_{2d-1}(L)=\mathbb {Z} ,H_{2i-1}(L)=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ für ${\displaystyle 1\leq i\leq d-1}$, ${\displaystyle H_{i}(L)=0}$ für alle anderen ${\displaystyle i}$.

Weil die Fundamentalgruppe des Linsenraums ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ist, können zwei Linsenräume nur dann homotopieäquivalent sein, wenn die Zahl ${\displaystyle m}$ übereinstimmt.

Die Linsenräume ${\displaystyle L(m;l_{1},\ldots ,l_{d})}$ und ${\displaystyle L(m;l_{1}^{\prime },\ldots ,l_{d}^{\prime })}$ sind

• homotopieäquivalent genau dann, wenn
  ${\displaystyle l_{1}\ldots l_{d}\equiv \pm n^{d}l_{1}^{\prime }\ldots l_{d}^{\prime }{\pmod {m}}}$
  für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.^[4]
• homöomorph genau dann, wenn es eine Permutation ${\displaystyle \sigma }$ und ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gibt, so dass
  ${\displaystyle l_{j}\equiv \pm nl_{\sigma (j)}{\pmod {m}}}$ für ${\displaystyle j=1,\ldots ,d}$.^[5][6]

3-dimensionale Linsenräume sind die einzigen 3-Mannigfaltigkeiten, die eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht ${\displaystyle 1}$ besitzen.

Sie sind sphärische 3-Mannigfaltigkeiten: ihre universelle Überlagerung ist die 3-Sphäre. Insbesondere tragen sie eine Riemannsche Metrik konstanter positiver Schnittkrümmung.

• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12226-X
• Nikolai Saveliev: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. Second revised edition. de Gruyter Textbook. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2012, ISBN 978-3-11-025035-0
• Claude Weber: Lens spaces among 3-manifolds and quotient surface singularities, RACSAM 112, 2018, S. 893–914.

• Lens Spaces (Manifold Atlas)
• Lens Spaces auf nLab (englisch)

1. ↑ Jean Dieudonné: A history of algebraic and differential topology, 1900–1960 (= Modern Birkhäuser Classics). Nachdruck der 1989 Auflage. Birkhäuser, Boston 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, S. 42, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4. 
2. ↑ H. Tietze: Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. Band 19, Nr. 1, Dezember 1908, ISSN 0026-9255, S. 1–118, doi:10.1007/BF01736688. 
3. ↑ Kurt Reidemeister: Homotopieringe und Linsenräume. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11: 102–109 (1935)
4. ↑ P. Olum: Mappings of manifolds and the notion of degree. In: Ann. of Math., (2) 58, 1953, S. 458–480. JSTOR:1969748
5. ↑ E. J. Brody: The topological classification of the lens spaces. In: Ann. of Math., (2) 71, 1960, S. 163–184. JSTOR:1969884
6. ↑ John Milnor: Whitehead torsion. In: Bull. Amer. Math. Soc., 72, 1966, S. 358–426. maths.ed.ac.uk (Memento vom 29. Mai 2016 im Internet Archive; PDF)