Faber-Jackson-Beziehung

Die Faber-Jackson-Beziehung (nach Sandra M. Faber und Robert Earl Jackson, die die Beziehung 1976 entdeckten) ist ein beobachteter Zusammenhang zwischen Leuchtkraft L und der Geschwindigkeitsdispersion ${\displaystyle \sigma }$ in elliptischen Galaxien. Danach hängt die Leuchtkraft proportional von einer Potenz der Geschwindigkeitsdispersion ab:

${\displaystyle L\propto \sigma ^{\gamma }}$

Der Exponent ${\displaystyle \gamma }$ liegt sehr nahe bei 4.

Die Faber-Jackson-Beziehung ist zu verstehen als Projektion der Fundamentalebene von elliptischen Galaxien, um auch bei unbekannter Entfernung von elliptischen Galaxien die Leuchtkraft und schließlich die Geschwindigkeitsdispersion einer elliptischen Galaxie zu bestimmen.

Man kann die Form der Faber-Jackson-Beziehung unter gewissen idealisierenden Annahmen leicht abschätzen. Daraus ergibt sich der Exponent der Beziehung zu ${\displaystyle \gamma =4}$. Der tatsächlich beobachtete Exponent hängt vom Verlauf der Dichte sowie des Masse-Leuchtkraft-Verhältnisses ab und weicht von dem theoretischen Wert mehr oder weniger stark ab.

Die potentielle Energie einer selbstgravitierenden Masseverteilung von Radius R und Masse M ist

${\displaystyle U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}}$

Die gesamte kinetische Energie ist

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}}$

Mit dem Virialtheorem (${\displaystyle 2T+U=0}$) folgt

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}}$.

Wenn Masse und Leuchtkraft zueinander proportional sind, ${\displaystyle M\propto L}$, kann M ersetzt werden und hat noch

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}}$,

eine Beziehung zwischen R und der Geschwindigkeitsdispersion:

${\displaystyle R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}}$.

Mit einer konstanten Oberflächenhelligkeit

${\displaystyle B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}}$

folgt

${\displaystyle L=4\pi R^{2}B}$,

${\displaystyle L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B}$,

und schlussendlich der gesuchte Zusammenhang zwischen Leuchtkraft und Geschwindigkeitsdispersion:

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}\propto \sigma ^{4}}$,

• Originalarbeit von Faber und Jackson (engl.), bibcode:1976ApJ...204..668F

• Tully-Fisher-Beziehung