Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}\,(cx+d)^{k}\;y^{(k)}(x)=b(x)\ ,\ cx+d>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338cae46e8b791c263d2a1fc8ed496cee056ae3f)
zu gegebenen
und Inhomogenität
. Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur
betrachtet zu werden.
Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation
in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.
Sei
eine genügend glatte Funktion und
, also
.
Dann gilt
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}y'(x)&=&{\frac {c}{cx+d}}z'(\ln(cx+d))\ ,\\y''(x)&=&{\frac {c^{2}}{(cx+d)^{2}}}z''(\ln(cx+d))-{\frac {c^{2}}{(cx+d)^{2}}}z'(\ln(cx+d))\ ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d266dcb592b7d941d843f1eee458814b345841)
also
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}(cx+d)y'(x)&=&c\cdot z'(\ln(cx+d))\ ,\\(cx+d)^{2}y''(x)&=&c^{2}\cdot [z''-z'](\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e119e239011b2711ee118e4c54e32bb279b7e7)
Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:
- Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung
in welche mit konstanten Koeffizienten? - Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, ohne jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?
Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:
Sei
Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(x)=0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511fab8454384a7bce2c6209d67bb74dd45a4a0a)
Dann ist
![{\displaystyle \ y(x):=z(\ln(cx+d))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e381e2a0234eb0c36aa78eb16caa40b0d92a030)
eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)=0\ ,\ cx+d>0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09fdb9dbefd35e57f217fa5f9599e6ece7c13bf)
Erläuterung zur Notation
Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:
![{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=z\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d619c881c11df8c63e9b8243f3a187c8882aefe3)
![{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{0}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)z=z'\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0cd43709defaf2512b1b703d30b03db6b1730c)
![{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)z=\left({\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z''-z'\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034228fbe23f1dcf8a2cb63d2f2fb34f2d538359)
![{\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{2}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-2\right)z=\left({\frac {\rm {d^{3}}}{{\rm {d}}x^{3}}}-3{\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}+2{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z'''-3z''+2z'\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069495c4ab6c049d06ba964ba0eaa7a50304936a)
Beweis
Zu zeigen ist lediglich
für alle
. Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang
ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für
kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich
![{\displaystyle (cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0}+1)}(x)+ck_{0}(cx+d)^{k_{0}-1}y^{(k_{0})}(x)={\frac {c^{k_{0}+1}}{cx+d}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba355907b3a201ec26d2fb5ab1447eae9dd634b1)
Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}(cx+d)^{k_{0}+1}y^{(k_{0}+1)}(x)&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))-ck_{0}(cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0})}(x)\\&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&&\quad -c^{k_{0}+1}k_{0}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&=&c^{k_{0}+1}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1981dd15fb49a36f99a96d34cd701b97d4d2ad)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems
Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von
lautet
![{\displaystyle \chi (\lambda )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\prod _{j=0}^{k-1}(\lambda -j)=0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34465b97146586aa8ee61c56ed35d9e6ed98a24d)
Bezeichnen nun
die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
und
die Vielfachheit von
, so bildet
![{\displaystyle \{z_{j,k}(x)=e^{\lambda _{j}x}x^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d692bc9d1f6b1c7227dc8a4a6eb438b9ebc4a7bb)
ein Fundamentalsystem der Gleichung für
. Also ist
![{\displaystyle \{y_{j,k}(x)=(cx+d)^{\lambda _{j}}[\ln(cx+d)]^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822649e4c3c847d87112aa740bd4f0a6c47b29fc)
ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.
Beispiel
Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung
![{\displaystyle a_{2}x^{2}y''(x)+a_{1}xy'(x)+a_{0}y(x)=0\ ,\ a_{2}\neq 0\ ,\ x>0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751dae590ff6398f150a936da50da2ebc3fc0e0d)
Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
![{\displaystyle a_{2}(z''(x)-z'(x))+a_{1}z'(x)+a_{0}z(x)=0\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e572454c203bf3bbe419498ecdb8473d08752916)
also
![{\displaystyle a_{2}z''(x)+(a_{1}-a_{2})z'(x)+a_{0}z(x)=0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222882b5edf4340b44db5bf66740deded3d2233c)
Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet
![{\displaystyle \chi (\lambda )=\ a_{2}\lambda ^{2}+(a_{1}-a_{2})\lambda +a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ead342690bde6ea2d4a442fa855886ab7ea494)
und besitzt die Nullstellen
![{\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {a_{2}-a_{1}}{2a_{2}}}\pm {\sqrt {{\frac {(a_{2}-a_{1})^{2}}{4a_{2}^{2}}}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae8dc6472b34dc355483c7f1e3f5334a8487cf8)
Fall 1:
, beide reell.
Dann ist
ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass
ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.
Fall 2:
.
Dann ist
eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist
ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass
ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.
Fall 3:
beide nicht reell.
Dann sind
komplex konjugiert zueinander. Also ist
ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei
,
. Dann ist
ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert
als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Literatur
- Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, New York 1955, ISBN 978-0-07-011542-2.
- Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Seite 240, Vieweg + Teubner, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2