Das Euler-Theorem (manchmal auch Eulersche Identität[1] oder Satz von Euler über homogene Funktionen) ist ein Satz aus der Analysis, der den Zusammenhang einer (total) differenzierbaren und (positiv) homogenen Funktion mit ihren partiellen Ableitungen beschreibt. Das Theorem findet vielfach Anwendung in der Volkswirtschaftslehre, insbesondere in der Mikroökonomie.[2] Dort ist es auch unter den Namen Wicksteed-Euler-Theorem oder Ausschöpfungstheorem bekannt.
Geschichte
Der Satz ist nach Leonhard Euler (1707–1783) benannt. Das Euler-Theorem wurde in die Wirtschaftswissenschaften durch den Ökonomen Philip Wicksteed integriert. Er benutzte Eulers Theorem in seinem 1894 veröffentlichten Buch The Co-ordination of the Laws of Distribution.
Aussage
Sei die Funktion
(total) differenzierbar und (positiv) homogen vom Grad
. Letzteres bedeutet
für alle
und
. Dann gilt für alle
:[1]
![{\displaystyle \lambda \cdot f(x)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x)\cdot x_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x)\cdot x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c73bdb247f45aa14376578f860af05357f5463a)
Herleitung
Betrachte die Funktion
. Aus der mehrdimensionalen Kettenregel folgt
,
wobei die zweite Gleichheit aus der vorausgesetzten Homogenität von
folgt.
Anwendung in der Volkswirtschaftslehre
Sei
die (total) differenzierbare Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen einer Firma. Mathematisch bedeutet dies, dass
(positiv) homogen vom Grad 1 ist. Dann folgt aus Eulers Theorem:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)\cdot x_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x)\cdot x_{1}+\dotsb +{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(x)\cdot x_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ac7145a6f3e248aad3b887675c352ed104f05d)
Unter der Annahme des perfekten Wettbewerbs auf allen Faktormärkten wird jeder Produktionsfaktor
im Marktgleichgewicht
gemäß seinem Grenzertrag entlohnt. Das bedeutet für alle
, dass die Faktorentlohnung des
-ten Produktionsfaktors
entspricht. Dies impliziert, dass die betrachtete Firma im Marktgleichgewicht
keinen Gewinn erwirtschaften kann, da die komplette Produktion
für die Entlohnung der Produktionsfaktoren,
, aufgewendet wird.
Ein konkretes Beispiel: Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
, wobei
und
hier die Faktoren Kapital bzw. Arbeit darstellen.
ist offensichtlich differenzierbar und homogen vom Grad 1, da
für alle
gilt. Laut Eulers Theorem folgt:
![{\displaystyle K{\frac {\partial f}{\partial K}}(K,L)+L{\frac {\partial f}{\partial L}}(K,L)=K\cdot {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {L}}{\sqrt {K}}}+L\cdot {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {K}}{\sqrt {L}}}={\sqrt {KL}}=f(K,L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62eabf5156d58c509409b6109430d01a673b5c7b)
Siehe auch
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Euler’s Homogeneous Function Theorem. In: MathWorld (englisch).
- Eulersches Theorem in Gablers Wirtschaftslexikon
Einzelnachweise
- ↑ a b Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3, Kapitel 2.8, Aufgabe 4.
- ↑ Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston, Jerry R. Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, New York 1995, ISBN 978-0-19-510268-0, S. 929.