Neben den „klassischen“ Beweisen des Satzes des Pythagoras, wie Geometrischer Beweis durch Ergänzung , Scherungsbeweis oder Beweis mit Ähnlichkeiten wurde von James A. Garfield um das Jahr 1875 ein Beweis entwickelt und bei der Zeitschrift New England Journal of Education eingereicht und sogar veröffentlicht. James A. Garfield wurde 1881 Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika .
Beweis von James A. Garfield Beweisskizze Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC}
Durch Verschiebung Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} B A ¯ {\displaystyle {\overline {BA}}} A {\displaystyle A} Δ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \Delta A\!\,'B\!\,'C\!\,'}
Δ A B C ≅ Δ A ′ B ′ C ′ . {\displaystyle \Delta ABC\cong \Delta A\!\,'B\!\,'C\!\,'.} Aus den Kongruenzsätzen folgt:
a = a ′ , b = b ′ , c = c ′ . {\displaystyle a=a^{\prime },\;b=b^{\prime },\;c=c^{\prime }.} Nach dem Innenwinkelsummensatz im Dreieck gilt:
α + β + γ = 180 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }} Daraus folgt mit γ = 90 ∘ {\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
α + β = 90 ∘ . {\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }.} Da ferner der Winkel ∠ C A C ′ {\displaystyle \angle CAC^{\prime }} α + β = 90 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }}
∠ A ′ B ′ B = 90 ∘ . {\displaystyle \angle A^{\prime }B^{\prime }B=90^{\circ }.} Somit sind alle drei Dreiecke rechtwinklige Dreiecke. Ihr Flächeninhalt berechnet sich also aus der Hälfte des Produktes der Kathetenlängen ( A rechtwinkliges Δ = 1 2 ⋅ a ⋅ b {\displaystyle A_{{\text{rechtwinkliges }}\Delta }={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot b}
Durch die Einzeichnung der Strecke B A ′ ¯ {\displaystyle {\overline {BA^{\prime }}}} A Trapez = 1 2 ( a + b ′ ) ⋅ h . {\displaystyle A_{\text{Trapez}}={\tfrac {1}{2}}(a+b^{\prime })\cdot h.}
Aus der Flächengleichheit folgt, dass der Flächeninhalt des Trapezes gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Dreiecke entspricht:
A Trapez = A rotes Δ + A blaues Δ + A grünes Δ 1 2 ( a + b ) ( a + b ) = 1 2 a b + 1 2 a b + 1 2 c c | binomische Formel 1 2 ( a 2 + 2 a b + b 2 ) = a b + 1 2 c 2 | ⋅ 2 a 2 + 2 a b + b 2 = 2 a b + c 2 | − 2 a b a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle {\begin{matrix}A_{\text{Trapez}}&=&A_{{\text{rotes }}\Delta }+A_{{\text{blaues }}\Delta }+A_{{\text{grünes}}\;\Delta }&{}&{}\\{\frac {1}{2}}(a+b)(a+b)&=&{\frac {1}{2}}ab+{\frac {1}{2}}ab+{\frac {1}{2}}cc&|&{\text{binomische Formel}}\\{\frac {1}{2}}(a^{2}+2ab+b^{2})&=&ab+{\frac {1}{2}}c^{2}&|&\cdot \,2\\a^{2}+2ab+b^{2}&=&2ab+c^{2}&|&-2ab\\a^{2}+b^{2}&=&c^{2}&{}&{}\end{matrix}}}
Folgerungen In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenlängen a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} a + b ≤ c 2 {\displaystyle a+b\leq c{\sqrt {2}}} (Figur 1) Gleichheit gilt genau dann, wenn a = b {\displaystyle a=b} (Figur 2) Für jeden Winkel α {\displaystyle \alpha } | sin α + cos α | ≤ 2 {\displaystyle |\sin \alpha +\cos \alpha |\leq {\sqrt {2}}} (Figur 3) Mit a = | sin α | {\displaystyle a=|\sin \alpha |} b = | cos α | {\displaystyle b=|\cos \alpha |} | sin α + cos α | ≤ | sin α | + | cos α | ≤ 2 {\displaystyle |\sin \alpha +\cos \alpha |\leq |\sin \alpha |+|\cos \alpha |\leq {\sqrt {2}}} [1]
Quellen J. A. Garfield, Pons Asinorum. New England J. Educ. 3, S. 161, 1876. Eric Weisstein: Pythagorean Theorem . In: MathWorld (englisch). Formeln 19–24.
Einzelnachweise ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen , Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 222, 26 und 262 
Figur 1
Figur 2
Figur 3
