Arens-Produkt

Das Arens-Produkt, benannt nach Richard Arens, ist eine Konstruktion aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Genaugenommen handelt es sich dabei um zwei Produkte auf dem Bidualraum ${\displaystyle A''}$ einer Banachalgebra ${\displaystyle A}$, die das auf ${\displaystyle A}$ gegebene Produkt fortsetzen, wenn man ${\displaystyle A}$ vermöge der natürlichen Einbettung ${\displaystyle A\rightarrow A''}$ als Unterraum von ${\displaystyle A''}$ auffasst. Beide Produkte machen ${\displaystyle A''}$ zu einer Banachalgebra. Stimmen die beiden Produkte überein, so nennt man die Ausgangsalgebra ${\displaystyle A}$ Arens-regulär.

Es sei ${\displaystyle A}$ eine Banachalgebra, ${\displaystyle A'}$ ihr Dualraum und ${\displaystyle A''}$ ihr Bidualraum. Wie üblich wird ${\displaystyle A}$ vermöge der isometrischen Einbettung

${\displaystyle \Phi :A\rightarrow A'',\,\Phi (a):=\Phi _{a}:A'\rightarrow \mathbb {K} ,\,\Phi _{a}(f):=f(a)}$

als Unterraum von ${\displaystyle A''}$ aufgefasst. Die Konstruktion eines Produktes auf ${\displaystyle A''}$ erfolgt in drei Schritten:

1. Für ${\displaystyle x\in A}$ und ${\displaystyle f\in A'}$ wird ${\displaystyle fx\in A'}$ definiert durch ${\displaystyle (fx)(y):=f(xy),\,y\in A}$.
2. Für ${\displaystyle F\in A''}$ und ${\displaystyle f\in A'}$ wird ${\displaystyle Ff\in A'}$ definiert durch ${\displaystyle (Ff)(x):=F(fx),\,x\in A}$.
3. Für ${\displaystyle F,G\in A''}$ wird ${\displaystyle FG\in A''}$ definiert durch ${\displaystyle (FG)(f):=F(Gf),\,f\in A'}$.

Die so definierte Verknüpfung ${\displaystyle (F,G)\mapsto FG}$ auf ${\displaystyle A''}$ heißt das erste Arens-Produkt. Man kann zeigen, dass es sich tatsächlich um eine assoziative Multiplikation handelt, die ${\displaystyle A''}$ zu einer Banachalgebra macht. Im Folgenden sei ${\displaystyle A''}$ stets mit dieser Multiplikation versehen. Die leicht nachzurechnende Formel ${\displaystyle \Phi (ab)=\Phi (a)\Phi (b)}$ zeigt, dass dadurch das auf der Ausgangsalgebra gegebene Produkt fortgesetzt wird, wenn man ${\displaystyle A}$ wie oben erwähnt als Teilmenge von ${\displaystyle A''}$ auffasst.^[1]

Das zweite Arens-Produkt ergibt sich aus dem ersten, indem man obige Konstruktion auf die Gegenalgebra ${\displaystyle A^{op}}$ anwendet und anschließend erneut zur Gegenalgebra übergeht, d. h. man bildet ${\displaystyle ((A^{op})'')^{op}}$. Auch das kann man wieder als eine dreistufige Konstruktion beschreiben:

1. Für ${\displaystyle x\in A}$ und ${\displaystyle f\in A'}$ wird ${\displaystyle xf\in A'}$ definiert durch ${\displaystyle (xf)(y):=f(yx),\,y\in A}$.
2. Für ${\displaystyle F\in A''}$ und ${\displaystyle f\in A'}$ wird ${\displaystyle fF\in A'}$ definiert durch ${\displaystyle (fF)(x):=F(xf),\,x\in A}$.
3. Für ${\displaystyle F,G\in A''}$ wird ${\displaystyle F\cdot G\in A''}$ definiert durch ${\displaystyle (F\cdot G)(f):=F(fG),\,f\in A'}$.

Wieder ist hierdurch eine Multiplikation definiert, die diejenige von ${\displaystyle A}$ fortsetzt und ${\displaystyle A''}$ zu einer Banachalgebra macht.

Während das erste Arens-Produkt ohne Verknüpfungszeichen geschrieben wurde, haben wir zur Unterscheidung einen Punkt für das zweite Arens-Produkt gewählt. Schon Arens hat in der grundlegenden Arbeit^[2] gezeigt, dass ${\displaystyle FG=F\cdot G}$, falls einer der Faktoren aus ${\displaystyle A}$, das heißt aus ${\displaystyle \Phi (A)\subset A''}$, ist. Im Allgemeinen stimmen die beiden Arens-Produkte nicht überein. Das führt zu folgender Definition:

Eine Banachalgebra heißt Arens-regulär, wenn das erste und zweite Arens-Produkt auf ${\displaystyle A''}$ übereinstimmen, das heißt falls ${\displaystyle FG=F\cdot G}$ für alle ${\displaystyle F,G\in A''}$.

Eine Banachalgebra ${\displaystyle A}$ ist genau dann Arens-regulär, wenn für jedes ${\displaystyle f\in A'}$ der durch ${\displaystyle T_{f}(a):=fa}$ definierte lineare Operator ${\displaystyle T_{f}:A\rightarrow A'}$ schwach kompakt ist.^[3][4]

Ist ${\displaystyle G}$ eine lokalkompakte Gruppe, so ist die Gruppenalgebra ${\displaystyle L^{1}(G)}$ genau dann Arens-regulär, wenn ${\displaystyle G}$ endlich ist.^[5] Insbesondere ist die Faltungsalgebra ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {Z} )}$ ein Beispiel für eine nicht-Arens-reguläre Banachalgebra.

S. Sherman und Z. Takeda haben gezeigt, dass C*-Algebren stets Arens-regulär sind, dass sich die Involution der C*-Algebra auf den Bidual fortsetzt und dieser dadurch ebenfalls zu einer C*-Algebra wird, sogar zu einer Von-Neumann-Algebra.^[6] Weiter kann gezeigt werden, dass diese mit der einhüllenden Von-Neumann-Algebra übereinstimmt.

Eine Banachalgebra ${\displaystyle A}$ hat genau dann eine beschränkte rechts-Approximation der Eins, wenn ${\displaystyle A''}$ ein rechts-Einselement hat.^[7] Daraus folgt:

Eine Arens-reguläre Banachalgebra ${\displaystyle A}$ hat genau dann eine beschränkte Approximation der Eins, wenn ${\displaystyle A''}$ ein Einselement hat.^[8]

Kommutativität vererbt sich nur im Falle der Arens-Regularität auf den Bidual. Ist ${\displaystyle A}$ eine kommutative Banachalgebra, so ist ${\displaystyle A''}$ genau dann kommutativ unter einem der Arens-Produkte, wenn ${\displaystyle A}$ Arens-regulär ist.^[9]

Es sei ${\displaystyle A}$ eine Arens-reguläre Banachalgebra, ${\displaystyle B\subset A}$ eine abgeschlossene Unteralgebra und ${\displaystyle I\subset A}$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal. Dann sind auch ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle A/I}$ Arens-regulär.^[10]

Ist ${\displaystyle K}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A}$ eine Banachalgebra, so ist die Banachalgebra ${\displaystyle C(K,A)}$ der stetigen Funktionen ${\displaystyle K\rightarrow A}$ mit den punktweise erklärten Verknüpfungen genau dann Arens-regulär, wenn ${\displaystyle A}$ Arens-regulär ist.^[11] Aus der Arens-Regularität von ${\displaystyle A}$ folgt also die Arens-Regularität des injektiven Tensorproduktes ${\displaystyle C(K)\otimes _{\varepsilon }A}$, denn letzteres stimmt mit ${\displaystyle C(K,A)}$ überein. Das projektive Tensorprodukt Arens-regulärer Banachalgebren ist im Allgemeinen nicht wieder Arens-regulär.^[12]

1. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 10, Example 13 (v)
2. ↑ R. Arens: The adjoint of a bilinear operation, Proceedings Amer. Math. Soc. Band 2 (1951), Seiten 839–848
3. ↑ S. L.Gulick: Commutativity and ideals in the biduals of topological algebras, Pacific J. Math. Band 18 (1966), Seiten 121–137 (kommutativer Fall)
4. ↑ J. Hennefeld: A note on the Arens Products, Pacific J. Math. Band 26 (1968), Seiten 115–119 (allgemeiner Fall)
5. ↑ N. J. Young: The Irregularity of Multiplication in Group Algebras, Quart. J. Math. Oxford, Band 24 (1973), Seiten 59–62
6. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 38, Theorem 19
7. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 29, Satz 7
8. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 29, Korollar 8
9. ↑ J. Duncan, S. A. R. Hosseiniun: The second dual of a Banach algebra, Proceedings Royal Soc. Edinburgh, Band 84 (1979), Seiten 309–325, § 2, Satz 1
10. ↑ J. Duncan, S. A. R. Hosseiniun: The second dual of a Banach algebra, Proceedings Royal Soc. Edinburgh, Band 84 (1979), Seiten 309–325, § 2, Korollar zu Theorem 1
11. ↑ A. Ülger: Arens Regularity of the Algebra C(K,A), Journal London Mathematical Society, Band S2-42, Ausgabe 2 (1989), Seiten 354–364
12. ↑ A. Ülger: Arens regularity of the algebra A⊗B, Trans. Amer. Math. Soc., Band 305 (1988), Seiten 623–639