Multiplikativní množina

Multiplikativní množina (také množina uzavřená na násobení nebo podmnožina uzavřená na násobení) je pojem z komutativní algebry, podoboru abstraktní algebry. V rámci okruhu ${\displaystyle O}$ se multiplikativní podmnožinou rozumí taková podmnožina ${\displaystyle M}$ okruhu ${\displaystyle O}$, která splňuje:

• ${\displaystyle 1\in M}$
• ${\displaystyle \forall x,y\in M:xy\in M}$

Tato množina je tedy jednak uzavřená na konečná násobení a jednak obsahuje i prázdný součin, tedy neutrální prvek vůči násobení. Definice lze přeformulovat pomocí pojmu monoid – jedná se o podmonoid násobení v daném okruhu.

Typickým využitím multiplikativních množin v komutativní algebře je vytváření lokalizace okruhu.

Příklady

• Množinový doplněk prvoideálu v komutativním okruhu.
• Množina všech jednotek okruhu.
• Mocniny prvku v okruhu, tedy množina ${\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3},\dots \}}$

Vlastnosti

• Ideál ${\displaystyle P}$ okruhu ${\displaystyle O}$ je prvoideálem právě tehdy, když je ${\displaystyle O\setminus P}$ multiplikativní množinou.
• Průnikem multiplikativních množin je multiplikativní množina.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Multiplicatively closed set na anglické Wikipedii.