Eulerova metoda

Eulerova metoda je nejjednodušší metodou numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic s danými počátečními podmínkami. Publikoval ji Leonhard Euler v roce 1768. V oblasti numerické integrace lze nalézt určitou podobnost s obdélníkovou metodou.

Odvození

Eulerova metoda vychází z rovnic pro změnu polohy x(t) a rychlosti v(t) určitého objektu. Proměnná a(t) značí zrychlení.

a ( t ) = d v ( t ) d t {\displaystyle a(t)={\frac {dv(t)}{dt}}}

a

v ( t ) = d x ( t ) d t {\displaystyle v(t)={\frac {dx(t)}{dt}}}

tedy

v ( t 0 + h ) = v ( t 0 ) + h a ( t 0 ) {\displaystyle v(t_{0}+h)=v(t_{0})+ha(t_{0})\,}

a

x ( t 0 + h ) = x ( t 0 ) + h v ( t 0 ) {\displaystyle x(t_{0}+h)=x(t_{0})+hv(t_{0})\,}

Odchylka (chyba metody)

Odchylku Eulerovy metody lze nejlépe znázornit porovnáním s Taylorovým rozvojem trajektorie daného objektu. Pokud přesně známe x(t), v(t) a a(t) v čase t0, pak v čase t0 + h dává Eulerova metoda hodnotu

x ( t 0 + h ) = x ( t 0 ) + h v ( t 0 ) . {\displaystyle x(t_{0}+h)=x(t_{0})+hv(t_{0}).\,}

Hodnota Taylorova rozvoje je

x ( t 0 + h ) = x ( t 0 ) + h v ( t 0 ) + 1 2 h 2 a ( t 0 ) + O ( h 3 ) . {\displaystyle x(t_{0}+h)=x(t_{0})+hv(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}a(t_{0})+O(h^{3}).}

Odchylka (také lokální diskretizační chyba nebo chyba jednoho kroku) Eulerovy metody je tedy dána rozdílem mezi těmito dvěma rovnicemi:

− 1 2 h 2 a ( t 0 ) + O ( h 3 ) . {\displaystyle -{\frac {1}{2}}h^{2}a(t_{0})+O(h^{3}).}

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerova metoda na Wikimedia Commons