Cardanovy vzorce

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi.

Historie

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup

Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar (vydělením vedoucím koeficientem)

x 3 + a x 2 + b x + c = 0. ( 1 ) {\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)}

Substitucí (posunutím proměnné) x = t − a / 3 {\displaystyle x=t-a/3} odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

t 3 + p t + q = 0 , kde p = b − a 2 3 a q = c + 2 a 3 − 9 a b 27 . ( 2 ) {\displaystyle t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)}

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560–1621) substitucí t = y − p 3 y {\displaystyle t=y-{p \over 3y}} a vynásobením y 3 {\displaystyle y^{3}} , po snadných úpravách dostaneme y 6 + q y 3 − p 3 27 = 0 {\displaystyle y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0} , kterou jednoduše vyřešíme převedením na kvadratickou rovnici substitucí z = y 3 {\displaystyle z=y^{3}} .
      Dále popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích a je v podstatě stejná.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

t = u + v {\displaystyle t=u+v}

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme

u 3 + v 3 + ( 3 u v + p ) ( u + v ) + q = 0 {\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0} (3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

3 u v + p = 0 {\displaystyle 3uv+p=0} .

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

− u 3 + p 3 27 u 3 = q . {\displaystyle -u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.}

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u3 a dostaneme

u 6 + q u 3 − p 3 / 27 = 0 . {\displaystyle u^{6}+qu^{3}-p^{3}/27=0\,.}

Toto je kvadratická rovnice pro u3. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

u 3 = − q 2 ± q 2 4 + p 3 27 {\displaystyle u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}
u = − q 2 ± q 2 4 + p 3 27 3 . ( 4 ) {\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\quad (4)}

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

x = − p 3 u + u − a 3 . {\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}.}

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině ( ± {\displaystyle \pm } ), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená − 1 2 ± i 3 2 {\displaystyle {\tfrac {-1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}} . Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě −p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

v = − q 3 {\displaystyle v=-{\sqrt[{3}]{q}}} .

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak

u = p / 3 {\displaystyle u={\sqrt {p/3}}} a
v = − p / 3 {\displaystyle v=-{\sqrt {p/3}}} , takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,
t = j u − p / 3 j u = − p {\displaystyle t=ju-p/3ju={\sqrt {-p}}} a
t = u / j − j p / 3 u = − − p {\displaystyle t=u/j-jp/3u=-{\sqrt {-p}}} , kde
j = − 1 2 + i 3 2 {\displaystyle j={\tfrac {-1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}} .

Shrnutí

Pro kubickou rovnici

x 3 + a x 2 + b x + c = 0   {\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\ }

řešení pro neznámou x dostaneme jako

x = − p 3 u + u − a 3 {\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}}

kde

p = b − a 2 3 {\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}
q = c + 2 a 3 − 9 a b 27 {\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}}
u = − q 2 ± q 2 4 + p 3 27 3 . {\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že u 3 = − q 2 + q 2 4 + p 3 27 {\displaystyle u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}} nebo q 2 − q 2 4 + p 3 27 {\displaystyle {\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}} .

Ale protože u a v musí splňovat − u 3 − v 3 = q {\displaystyle -u^{3}-v^{3}=q} a − u v = p 3 {\displaystyle -uv={\frac {p}{3}}} , můžeme dokázat, že pokud

u 3 = − q 2 + q 2 4 + p 3 27 {\displaystyle u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}} , pak v 3 = − q 2 − q 2 4 + p 3 27 {\displaystyle v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}} .

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

u = { − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 ( − 1 2 + i 3 2 ) − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 ( − 1 2 − i 3 2 ) − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3       a       v = { − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 ( − 1 2 + i 3 2 ) − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 ( − 1 2 − i 3 2 ) − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 {\displaystyle u=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.~~~a~~~v=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.}

Nezapomeňte, že díky   t = u + v   {\displaystyle ~t=u+v~} dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud − u v = p 3 {\displaystyle -uv={\frac {p}{3}}} , takže musí platit –

t = { − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 ( − 1 2 + i 3 2 ) − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + ( − 1 2 − i 3 2 ) − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 ( − 1 2 − i 3 2 ) − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + ( − 1 2 + i 3 2 ) − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 {\displaystyle t=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.}

a x dostaneme jako x = t − a 3 {\displaystyle x=t-{\frac {a}{3}}}

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:

Označme tzv. diskriminant rovnice

D = q 2 4 + p 3 27 {\displaystyle D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}} .

Potom platí:

  1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
  2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
  3. Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic equation na anglické Wikipedii.